发布时间 : 星期三 文章2020年高中物理 第三章 万有引力定律 万有引力理论的成就知识梳理学案 教科版必修2更新完毕开始阅读24b962c2d35abe23482fb4daa58da0116c171f05
万有引力理论的成就
【学习目标】
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2．会用万有引力定律计算天体的质量．
3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法． 【要点梳理】
要点一、万有引力与重力 要点诠释：
地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向
2是垂直指向地轴的，它的大小是F，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这向?mr?个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力，如图所示，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．
在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力F(R为地球向?mR?cos?半径)．由公式可见，随着纬度的升高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增大，在两极处r＝Rcos90°＝0，F向?0，所以在两极，引力等于重力．在赤道上，物体的重力、引力和向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即mg?G2Mm?F向．此时重力最R2小．从图中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才指向地心．
(1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心．
(2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即mg?GMm． R2
要点二、天体质量计算的几种方法 要点诠释：
万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力． 运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即
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GM地m月?2???mr月??，可求得地球的质量 2r?T?4?2r3 M地?．
GT2 (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
2M地m月v2?m月． Gr2r2 可得地球的质量为M地?rv/G．
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得 GM地m月??， ?mv月r2T GM地m月2?mv/r． 月2r 以上两式消去r，解得
3 M地?vT/(2?G)．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
M地mR2g mg?G，解得地球的质量为M地?． 2GR
要点三、天体密度的计算 要点诠释：
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
GMm43和M???R， 2R33g 得 ??．
4?GR 由mg? 其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径． (2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
Mm4?2 G2?m2r，
rT M??4?R3， 3 2
4?2r3/GT23?r3?? 得 ??． 2344GTR?R3?R333M 当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为
??3?． 2GT
要点四、发现未知天体 要点诠释： 发现海王星
天王星的“出轨”现象，激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣．勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比．亚当斯也不断到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资料比较他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！ 1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．这就是海王星．
凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力．
要点五、解决天体运动问题的基本思路 要点诠释：
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的．根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：
Mmv24?22?mr??m?v?mr2． G2?ma向?mrrT 若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根
Mm4?24?2r3据万有引力提供向心力可知：G2?mr2，得恒星或行星的质量M?． 2rTGT 此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量．
(2)若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力
g?R2Mm等于物体的重力，有G2?mg?，所以M?．
GR 其中GM?g?R是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”．
【典型例题】
类型一、万有引力的计算
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例1、已知地球的质量大约是M＝6.0×10kg，地球的平均半径为R＝6370 km，地球表面的重力加速
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度g取9.8 m/s．求：
(1)地球表面一质量为10 kg的物体受到的万有引力； (2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。
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2【解析】(1)由万有引力定律得：F?GMm，代入数据得：F＝98.6 N． r2 (2)该物体受到的重力为mg＝98N．
(3)比较结果万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．
【点评】重力是由万有引力产生的，它与万有引力能不能视为相等，关键要看题目的条件． 举一反三
【变式】要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
1，可采取的方法是（ ） 21 21B．两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的
21C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
2D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍 【答案】B
m1m21知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力2r211减为原来的，故A错误；两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 ，则万有引力减为
4211原来的，故B正确；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 ，则万有引力变为原来的4倍，
221故C错误；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则则万有引力减为原来的，故D错误。
4【解析】根据F?G类型二、补偿法计算万有引力
例2、如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
(1)从球的正中心挖去； (2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
【思路点拨】所求万有引力可由均质实心球与m间的万有引力减去所挖去的小球与m间万有引力求得。
【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系M? m?43?r??r3，两部分的质量分别为 3M7M，M??． 88 (1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
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