发布时间 : 星期六 文章三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：函数的综合及其应用更新完毕开始阅读23cf1824c7da50e2524de518964bcf84b9d52d82
函数的综合及其应用
一、选择题
?x2?x?3,x≤1,x?x1．（2017天津）已知函数f(x)??设，若关于的不等式a?Rf(x)≥|?a|22x?,x?1.?x?在R上恒成立，则a的取值范围是 A．[?474739,2] B．[?,]
161616 C．[?23,2] D．[?23,39] 16A【解析】解法一 根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示
yy=f(x)O1当x≤1时，若要f(x)≥|x
xx2?a|恒成立，结合图象，只需x?x?3≥?(?a)，即22xx1x2??3?a≥0，故对于方程x2??3?a?0，??(?)2?4(3?a)≤0，解得
222472xxa≥?；当x?1时，若要f(x)≥|?a|恒成立，结合图象，只需x?≥?a，
216x2x2x2x2即?≥a，又?≥2，当且仅当?，即x?2时等号成立，所以a≤2，2x2x2x综上，a的取值范围是[?47,2]．选A． 16解法二 由题意f(x)的最小值为等价于|111x，此时x?．不等式f(x)≥|?a|在R上恒成立
242x11?a|≤在R上恒成立． 24x83?1111|?，不符合，排除C、D； ，|?23|?|2482当a??23时，令x?当a?391x394311时，令x?，|?|?||?，不符合，排除B．选A． 162216168二、填空题
1．（2017山东）若函数ef(x)(e=2．71828L，是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单
调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是 ． ①f(x)?2?xx
②f(x)?x2
③f(x)?3?x
④f(x)?cosx
?x①④【解析】①exf(x)?ex?2?x?()x在R上单调递增，故f(x)?2具有?性质；
②exf(x)?ex?3?x?()x在R上单调递减，故f(x)?3不具有?性质；
x3③ef(x)?e?x，令g(x)?e?x，则g?(x)?e?x?e?3x?xe(x?2)，
xx3x3x22xe2e3?x?当x??2时，g??x??0，当x??2时，g??x??0，
?exf(x)?ex?x3在???,?2?上单调递减，在??2,???上单调递增，
故f?x??x不具有?性质；
3④ef(x)?e(x?2)，令g?x??exx2?2，
xx2??则g?(x)?e(x?2)?e?2x?e[(x?1)?1]?0，
x2xx2?exf(x)?ex(x2?2)在R上单调递增，故f(x)?x2?2具有?性质．
?x2,x?D2．（2017江苏）设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)???x,x?D其中集合D?{x|x?是 ．
8【解析】由于f(x)?[0,1)，则需考虑1?x?10的情况，
在此范围内，x?Q且x?D时，设x?n?1,n?N*}，则方程f(x)?lgx?0的解的个数nq,p,q?N*,p?2，且p,q互质， pn,m,n?N*,m?2，且m,n互质， m若lgx?Q，则由lgx?(0,1)，可设lgx?nm因此10?qmqn，则10?()，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
pp因此lgx?Q，
因此lgx不可能与每个周期内x?D对应的部分相等， 只需考虑lgx与每个周期x?D的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?D的部分， 且x?1处(lgx)??11??1，则在x?1附近仅有一个交点，
xln10ln10因此方程f(x)?lgx?0的解的个数为8．
3．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，?DBC，?ECA，?FAB分别是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起?DBC，?ECA，?FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当?ABC的边长变
化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_______．
EAFBDOC
415【解析】如图连接OE交AC于G，由题意OE?AC，设等边三角形ABC的边长
为x（0?x?5），则OG?33x． x，GE?5?66EAFBDGOC
由题意可知三棱锥的高h?GE2?OG2?(5?323253x)?(x)?25?x 663底面S?ABC?32x， 4三棱锥的体积为V?132531535?x?25?x?5x4?x， 343123设h(x)?5x?453435x（0?x?5）x，则h?(x)?20x3?， 33令h?(x)?0，解得x?43，当x?(0,43)时，h?(x)?0，h(x)单调递增； 当x?(43,5)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，
4所以x?43是h(x)取得最大值h(43)?(43)
所以Vmax?三、解答题
1515?h(43)??(43)2?415． 12121．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平
均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中
x%(0?x?100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
0?x≤30,?30,?（单位：分钟）， f(x)??18002x??90,30?x?100?x?而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．
【解析】(1)当0?x≤30时，f(x)?30?40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少
于自驾群体的人均通勤时间；