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第一章 晶体结构
固体分为晶体和非晶体。非晶体中原子排列短程有序，没有固定的熔点。玻璃是典型的非晶体。因此，非晶体也称玻璃态物质或无定型固体。非晶态半导体具有独特的性质，近年来引起人们的广泛关注和研究并取得了许多重要成果。但由于课时所限，非晶态半导体未列入本课程。本章扼要复习一下原子排列长程有序晶体内部结构的周期性﹑晶体的对称性﹑晶格﹑原胞、单胞和倒格子等概念并给出常见半导体的晶体结构及其参数。
§1-1 晶体内部结构的周期性
晶体是由原子、分子或原子团在空间规则排列构成的。为了描述这种规则性，人们引入了晶格概念。在三维空间中，由原基矢a1,a2,a3的线性组合矢量
????Rm?m1a1?m2a2?m3a3 （m1,m2,m3为任意整数） （1-1）
???的终点所指定的各点在空间的排列称为晶格，也称空间点阵、点阵或布拉伐格子。
?晶格中的上述各点称格点，Rm称晶格矢量或格矢。原基矢是按下述原则确定的：
以a1,a2,a3为三个边撑起的平行六面体应为构成晶格的最小体积元，称为原胞。原胞可有多种取法，但每个原胞中仅含一个格点。显然，原胞在空间中重复堆积就构成了晶格。为了反映晶体的对称性，人们又引入了单胞的概念，其定义为能够反映晶格最高对称度的最小晶格单元，可包含多个格点，但其取法是唯一的。在七大晶系中，除六角晶系的单胞为正六角柱外，其它晶系的单胞也是由三个称为基矢量的a,b,c为棱撑起的平行六面体。由于晶格是由原胞重复堆积而成的，从这个意义上讲，晶体内部结构是具有周期性的。在实际的晶体结构中，一个格点可能包含不止一个原子。图1-1给出了一种二维晶格的空间点阵、原胞和单胞的示意图。图1-2和图1-3分别为三维晶格单胞基矢量及其夹角示意图和面心立方格子的单胞与原胞示意图。
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??????§1-2 晶体的对称性
晶体的空间点阵（晶格）除了具有周期性外，还具有对称性。所谓对称性是指晶格在一定的对称操作下能够保持自身不变（重合）的性质。对称性有：
一．平移对称性。从微观上考虑，一块宏观上足够小的完整晶体也是无限大的。点阵原胞或单胞在空间三个方向上的无限重复性平移将给出整个点阵，或者
?说无限的点阵在平移下保持不变。因此，晶体内部相差一个晶格矢量Rm的两点
的空间函数，比如静电势，应在平移一个晶格矢量后保持不变。即满足
??? f(r?Rm)?f(r) （1-2）
二．点群对称性。除了平移对称性外，晶格还具有以下12个点对称操作要素及其组合的点群对称性。晶格的点群对称性等价于一个单胞的点群对称性。
1．n重旋转轴：1，2，3，4，6或Cn（n=1，2，3，4，6）。如果晶格绕某一固定轴旋转2π/n或其整数倍后能够自身重合，则称该轴为n重旋转轴；
2．镜像反射面：m或σh,σv,σd。如果相对于某平面作镜像反射后，晶格能够自身重合，则该平面即为镜像反射面；
3．反演中心：i。是将格矢射的组合；
4．n重旋转反射（演）轴：n或Sn（n=1，2，3，4，6）。如果晶格绕某一固定轴转动2π/n，再相对于垂直该轴的平面σh（或反演中心i）作镜像反射（或反演）后，晶格能够自身重合，则称该轴为旋转反射（演）轴或简称转反轴。
表1-1 十四种布拉伐格子的特征数据及其所属晶系
单胞基矢量 需要指明的基矢量 晶系 布拉伐格子 ?Rm?R变为-m的操作，等效于2重转轴和镜面反
三斜晶系 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单正交 底心正交 正交晶系 体心正交 面心正交 简单正方 正方晶系 体心正方 简单立方 立方晶系 体心立方 面心立方 单斜晶系 三角晶系 三角 六角晶系 六角 的特性 a≠b≠c α≠β≠γ a≠b≠c α=γ=90o≠β a≠b≠c α=β=γ=90o 长度和夹角 a,b,c,α,β,γ a,b,c,β a,b,c a=b≠c α=β=γ=90o a=b=c α=β=γ=90o a=b=c oα=β=γ<120≠90o a=b≠c α=β=90o γ=120o a,c a a,α a,c 5
点对称操作是操作过程中能够保持空间中至少一点不动且操作后使晶格自身重合的对称操作。平移操作无这种特点。
上述12个点对称操作要素中，独立的只有以下8个：
1， 2， 3， 4， 6，m，1，4 （国际符号或赫曼-摩根符号）
C1，C2，C3，C4，C6，σ，i，S4 （熊夫利斯符号）
由这8种独立的要素及其组合所构成的对称性操作共有32种，称点群。 满足平移对称性的空间点阵共有14种，通常称布拉伐格子。这14种布拉伐格子的单胞按其点群对称性可分为7类并由此将晶体分为7大晶系，见表1-1。
§1-3 倒格子与周期性函数的付立叶展开
一．倒格子。晶体的共同特征是其内部结构具有周期性。为了反映这种周期性，人们引入了一种实空间格子—晶格（布拉伐格子），也称正格子。但是在研究x光和其他射线通过晶体后的衍射以及晶体中晶格振动与电子运动时，为了数学上分析简便和直观，人们又引入了一种新的空间格子—倒格子。倒格子的基矢
???量（也称倒基矢）b1,b2,b3由以下公式定义：
?2?b1???2?b2???2?b3????(a2?a3） ??(a3?a1） ??(a1?a2）
（1-3）
式中，a1,a2,a3为正格子的原基矢，?为正格子的原胞体积，且
???????????a1?(a2?a3)=a2?(a3?a1)=a3?(a1?a2)
??? （1-4）
???由上述三个倒基矢b1,b2,b3的线性组合矢量
???? Kn?n1b1?n2b2?n3b3 （n1,n2,n3为任意整数） （1-5）
????的终点（倒格点）所形成的空间格子称为倒格子，Kn称倒格矢。以倒基矢b1,b2,b3为三个棱撑起的平行六面体称倒原胞。由于倒基矢具有长度的倒数量纲，因而由其撑起的空间称倒空间。
二．倒格子的性质。
??KR1．倒格矢n与正格矢m之间有如下关系：
?? Kn?Rm?2?(n1m1?n2m2?n3m3)?2??整数 （1-6）
??exp(iKn?Rm)?1
（1-7）
2．倒原胞的体积：
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3?????????(2?) ??b1?(b2?b3)?b2?(b3?b1)?b3?(b1?b2)? （1-8）
??例1-1：设边长为a的面心立方格子如图所示，试写出其原基矢和倒基矢。
解：取如图所示的坐标系，则
????a??a??a?a1?(j?k) a2?(k?i) a3?(i?j)
222?????2??2?b1?(a2?a3)?(?i?j?k)
?a????2??2??b2?(a3?a1)?(i?j?k)
?a????2??2??b3?(a1?a2)?(i?j?k)
?a可见倒格子为体心立方格子。同样可求，体心立方格子的倒格子为面心立方格子。
请同学自己习做。
三．周期性函数的付立叶展开。前面讲过，描述晶体物理性质的空间坐标函数具有晶格的周期性，即
??? f(r?Rm)?f(r)
这样的周期性函数一定可展开为以下的付立叶级数
?f(r)???Kn???G(Kn)expi(Kn?r)
（1-9）
?其中，G为展开式中每一项的系数，Kn为倒格矢，求和是对所有倒格矢进行的。
§1-4 常见半导体的晶体结构
晶体按原子或分子间的结合方式可分为离子晶体、共价晶体、金属晶体和分子晶体。常见的半导体的晶体结构主要有共价键结合的共价晶体---金刚石结构和具有一定离子性的准共价晶体---闪锌矿结构和纤锌矿结构。属于金刚石结构的半导体主要有Ⅳ族的Ge、Si；属于闪锌矿结构的半导体主要是Ⅲ--Ⅴ族和Ⅱ--Ⅵ族化合物半导体中的GaAs、InP、ZnS等；属于纤锌矿的半导体主要有GaN和ZnO等。金刚石和闪锌矿结构的半导体属于立方晶系，其布拉伐格子均为面心立方格子。二者间差别在于金刚石结构的一个格点包含两个同种元素的原子，而闪锌矿结构的一个格点则包含两个异种元素的原子。属于同一格点的两个原子间距离为
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立方体1/4体对角线长度。因此也可以说金刚石和闪锌矿结构是两个面心立方格子沿体对角线方向错开1/4体对角线长度套嵌而成的。纤锌矿结构属于六角晶系，一个格点也包含两个异种元素原子，每个原子与周围的4个异种原子形成四面体结构。不论是金刚石、闪锌矿还是纤锌矿结构半导体，其电子结构均为sp3杂化轨道，每个原子与其周围4个原子形成以共价键结合的正四面体。图1-4为金刚石与闪锌矿结构示意图。表1-2中给出了几种常见半导体的晶体结构和晶格常数。
表1-2 几种常见半导体的晶体结构和晶格常数 晶体 Si Ge GaAs InP SiC ZnS 晶体结构 金刚石 金刚石 闪锌矿 闪锌矿 闪锌矿 闪锌矿 晶格常数(nm) 0.543 0.565 0.565 0.587 0.436 0.541 晶体 GaP InAs GaSb CdS GaN ZnO 晶体结构 闪锌矿 闪锌矿 闪锌矿 纤锌矿 纤锌矿 纤锌矿 晶格常数(nm) 0.545 0.606 0.609 a 0.414 A 0.319 a 0.325 c 0.671 c 0.519 c 0.521
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