发布时间 : 星期日 文章燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究更新完毕开始阅读23a9f5d7d4d8d15abf234e07
第3章 EIT技术数学模型及有限元建模
Problem)与求解逆问题(Inverse Problem)两部分。如图3-1所示。
正问题已知注入电流I0已知注入电流I0逆问题已知电导率分布σ边界电压U未知有限元法电导率分布σ未知测量边界电压U图像重建算法计算边界电压U得到微通道敏感场信息计算电导率分布σ图像重建实现可视化图3-1 EIT技术中的正问题和逆问题
其中，已知传输管道两相流电导率?的分布或者电导率?的变化??及注入电流的大小，求电极对之间电势V或者电势变化?V，最终得到传输管道某一测量截面的敏感场信息，称作求解EIT正问题。
根据在某个测量截面上测量的电压VM及通过正问题求解得到的该测量截面的敏感场信息，求解两相流电导率分布?，从而得到传输管道内部不同介质的分布情况，进行图像重建，实现可视化，称为EIT的逆问题求解。
3.4 有限元法求解EIT正问题
3.4.1 EIT正问题
用EIT系统分析传输管道两相流流动情况的测量过程是施加激励电流测量边界电压，它的正问题属于Neumann边值问题。设被测传输管道截面中心O点的坐标为(x0,y0)，将O点作为电势参考点，电势在O点为0。由式(3-7)及其边界条件(3-8)，EIT正问题的数学模型可以写作下面的形式[39]：
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?内???(????)?0，在传输管道场域??????J，在电流注入电极???n?? (3-12) ???????J，在电流流出电极??n????(x0,y0)????(x0,y0)?0，式中 ?——梯度算子；
?——传输管道两相流电导率分布函数； ?——被测传输管道横截面场域；
??——场域边界；
J——电流激励电极上注入的边界电流密度； ?——传输管道截面场域内的电势；
??/?n——场域内电势沿边界法线方向的导数。
通过对方程组(3-12)求解，可以得到传输管道横截面边界电压V与两相流电导率?之间的关系式：
V?F(?) (3-13)
其中函数F称作?与V之间的正向操作函数。
式(3-13)可以看做是EIT正问题的求解函数。由方程组(3-12)到式(3-13)的数学物理模型推导过程是非常复杂的。因此通常用有限元法(Finite Element Method,简称FEM)对EIT正问题进行分析。
在EIT中，在给出电导率?的分布的情况下，通过有限元法可以得到一个对于电势的估计值：
VFEM?FFEM(?) (3-14)
其中FFEM称作FEM中?与V之间的正向函数。通常假设电导率分布在每个网格单元中为一个常数。每个单元的值对应于图像中的某一个像素，图像中像素颜色的深浅表示单元的值的大小。
在图像重建中，为了减小测量误差带来的影响，通常采用动态方法进行图像重建。随着传输管道两相流流体电导率分布变化????而产生的测量电极上的电压变化V??V可以由泰勒展开式表示：
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?V??F(??)?O((??)2) (3-15) ???V?S?? (3-16)
忽略上式右半部分的第二项，等式(3-15)可以简化为线性形式： 应用有限元法将传输管道两相流电导率分布变化??剖分为m个离散值，每个离散值与图像中的一个单元像素相对应，设可以获得n个电压测量值，则此时S??F(?)/??为一个n?m的矩阵，这个矩阵称作雅克比矩阵(Jacobian matrix)，在有的文献中也称作灵敏度矩阵(sensitivity matrix)。应用有限元法求解EIT正问题的最终目的就是求解出雅克比矩阵S，从而获取敏感场信息，以此来进行逆问题的求解[40]。
3.4.2 有限元法基本原理
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具[41]。有限元法的思想最早由Courant于1943年提出。50年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中最早得到应用。有限元法这个名称则由Clough于1960年首先提出。1965年Winslow首先将有限元法应用于求解工程电磁场问题。1969年Silvester将有限元法推广到时谐电磁场问题。有限元法在原理上是有限差分法和变分法中里兹法的结合。有限元法的主要思想是将所要分析的连续场分割为很多较小的区域(称为单元和元素)，这些单元的集合体就代表原来的场，然后建立每个单元的公式，再组合起来，就能得到连续场的解答，这是一种从部分到整体的方法，使分析过程大为简化，从数学角度来说，有限元法是从变分原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问题转化为普通多元二次函数的极值问题，而后者又等价于一组多元线性代数方程的求解。有限元法是将所考虑的连续场分割为有限个单元，然后用比较简单的函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的解都满足边界条件，而是在求得集合体的代数方程之后，再引进边界条件，因为边界条件不进入单个有限单元的方程，所以对内部和边界上的单元能够采用同样的函数，把边界条件引入集合体的方程，这一过程也比较简单，因为在变分法中自然边界条件隐含地得到满足，只需要考虑强迫边界条件。在有限元法中，最终求解的是多元函
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数的极值方程，因此它的系数矩阵总是对称的，对于正定的变分问题，有限单元离散化后保持了正定性。而且有限元法的系数矩阵是稀疏的。下面按照二维有限元分析计算过程的步骤来简要介绍有限单元这一方法。 FEM分析步骤一般包括：
(1) 根据实际问题定义求解域，该求解域是连续的。
(2) 区域剖分，即将求解域离散为具有不同大小和形状的有限个单元，使求解域变为离散的。
(3) 选取单元内的场变量插值函数。
(4) 定状态变量及控制方程，即将包含问题状态变量边界条件的微分方程化为等价的泛函形式。
(5) 根据有限元剖分方式，将建立的单元方程进行再组合，形成整体方程，从而可以得到连续场域的离散解。
3.4.3 有限元法模型
如前所述，如果使用有限元法手动去逐步对EIT正问题进行求解，整个过程是相当复杂的，因此在本文中利用EIDORS 3.5(Electrical Impedance Tomography and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software)软件在Matlab环境下对传输管道进行有限元建模并对EIT正问题进行求解。
EIDORS 3.5是一个用于电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)和散射光学层析成像(Diffuse Optical Tomography, DOT)图像重建的软件包。它具有可自由编程、操作简单、易于修改等很多优点。该软件包括二维网格剖分、求解正问题和图像重建及显示等Matalab程序包。
使用EIDORS 3.5软件包对传输管道某一测量截面进行有限元建模。首先在Matlab中输入run path\\eidors\\startup.m，运行EIDORS 3.5软件包的运算准备函数，其中path代表EIDORS 3.5软件包的存储路径。然后新建一个M文件，在其中输入如下语句：
imdl_2d=mk_common_model(?c2s?,16); show_fem(imdl_2d.fwd_model);
其中函数mk_common_model()函数为构建一个点电极有限元模型。其
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