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所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD. 又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD, 所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=2PD,则PQ⊥QD. 2
又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ. (2)设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高, 1
所以棱锥Q-ABCD的体积V1=a3.
3由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高, 而PQ=2a,△DCQ的面积为
22
a, 2
1
所以棱锥P-DCQ的体积V2=a3.
3
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.
22.(本小题满分12分)(2014·南京高一检测)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得弦AB,且以AB为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解】 设直线l的方程为y=x+b, ?y=x+b,则?2 ?x+y2-2x+4y-4=0,
消元得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0.
设此方程两根为x1,x2,则A(x1,y1),B(x2,y2). 则x1+x2=-(b+1), b2+4b-4x1x2=.
2
∵以AB为直径的圆过原点O, y1y2
∴kOA·kOB=·=-1.
x1x2∴x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(x1+b)(x2+b)=0, 即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, ∴b2+3b-4=0,
∴b=-4或b=1.又Δ=(2b+2)2-8(b2+4b-4),经检验当b=-4或b=1时满足Δ>0. ∴存在这样的直线为y=x-4或y=x+1.