发布时间 : 星期六 文章高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答案更新完毕开始阅读22496f5e88eb172ded630b1c59eef8c75fbf95ac
高中数学两平面垂直的判定和性质测试题及答
案
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容：
二面角、两平面垂直的判定和性质 二. 重点、难点： 重点：
1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。
二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫直二面角。 2. 作二面角的平面角常有以下方法：
①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。
②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。 ③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。
④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。
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⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。 3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。
作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。
②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。
4. （1）两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。 （2）性质定理 如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。简言为：“面面垂直，则线面垂直”。 难点：
1. 二面角平面角的作法与计算。 2. 判定定理和性质定理的应用。 【典型例题】
例1. 如图。AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相
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垂直的各对平面并说明理由。 解：∵SA平面ABCD。
过SA的平面垂直于平面ABCD。
面SAB，面SAC，面SAD都与平面ABCD垂直。 又∵CDAD。
CDSD（三垂线定理）。CD面SAD。 经过CD的平面垂直于平面SAD。 面CDS，面ACD分别垂直于平面SAD。
同理，面CBA，面SBC分别垂直于平面SBA。但其中面SAD面ACD，面CAB面SAB。在第一种情况中已得到。 故共有五对平面互相垂直。
例2. 在四面体ABCD中，DA面ABC，ABC＝90。若 ，求二面角 的正弦值。
证明：过点A作AECD于E，AFBD于F如图。 ∵AD面ABC
ADBC 又∵ABC＝90。 BCAB BC面DAB。
DB是DC在面ABD内的射影。 ∵AFDB AFCD（三垂线定理）。 又∵AECD CD平面AEF。 CDEF ∵CD面AEF
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CD 面BCD 面AEF面BCD
由EFCD，AECD AEF为二面角B－DC－A的平面角 在 中 在
又∵AFDB，AFCD，BDCD＝D AF平面DBC，
例3. 在60的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。 分析：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面，分别交M、N于AQ、BQ。 同理，有PBa， ∵ PAPB＝P， a垂直于面PAQB于Q 又 AQ、BQ 平面PAQB AQa，BQa。
AQB是二面角M－a－N的平面角。 AQB＝60
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有 PAQ＝PBQ＝90
P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在△PAB中，∵ PA＝1，PB＝2，BPA＝180－60＝120，由余弦定理得
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