发布时间 : 星期四 文章2021届高三数学精准培优专练 等差数列与等比数列(理) 教师版更新完毕开始阅读209d207092c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad7c7
2021届高三精准培优专练
培优点 等差数列与等比数列
一、等差、等比数列的基本运算
例1：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5?2a3，且a4与2a7的等差中项为A．29 【答案】B
【解析】由a2a5?2a3，得a4?2． 又a4?2a7?B．31
C．33
D．36
5，则S5等于（ ） 4511，所以a7?，所以q?，所以a1?16， 242a1(1?q5)?31，故选B． 所以S5?1?q2222例2：{an}是公差不为0的等差数列，满足a4?a5?a6?a7，则该数列的前10项和S10等于（ ）
A．?10 【答案】C
B．?5 C．0 D．5
2222【解析】由题意，得a4?a7?a6?a5，即(a4?a7)(a4?a7)?(a6?a5)(a6?a5)，
即?3d(a4?a7)?d(a6?a5)，
又因为d?0，所以a4?a7?a6?a5?0， 则该数列的前10项和S10?10(a1?a10)?5(a6?a5)?0．故选C．
2**例3：已知递增数列{an}对任意n?N均满足an?N，aan?3n，记bn?a2?3n?1(n?N*)，则数列{bn}的
前n项和等于（ ） A．2?n 【答案】D
【解析】因为aan?3n，所以a1?3， 若a1?1，那么a1?aa1?3?1?3?1矛盾；
nB．2n?1?1
3n?1?3nC．
23n?1?3D．
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若a1?2，那么a2?aa1?3?1?3成立； 若a1?3，那么a3?aa1?3?1?3?a1矛盾，
?a2?b1?3，aaan?3an，
又有aaan?a3n，?3an?a3n，
于是得到bbnn?a2?3n?1?a3?2?3n?2?3a2?3n?2?3bn?1，即b?3， n?1数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，
b1所以前n项和为1(1?qn)3(1?33)3n?1?q?1?3??32，故选D．
二、等差、等比数列的性质及应用
例4：已知数列{a{b*1n}，n}满足bn?log2an，n?N，其中{bn}是等差数列，且a8?a2008?4， 则b1?b2?b3??b2015等于（ ）
A．log22015 B．2015
C．?2015
D．1008
【答案】C
【解析】∵数列{a*n}，{bn}满足bn?log2an，n?N，其中{bn}是等差数列，
∴数列{an}是等比数列，由a8?a2008?14，可得a2111008?4，即a1008?2， ∴a1·aa?a·a212015?2·a2014?10071009?a1008?4， ∴b1?b2?b3??b2 015?log2?a1?a2??a??log12 0152(2)2015??2015．
例5：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4?10，S12?130，则S8等于（ ）A．?30 B．40 C．40或?30 D．40或?50
【答案】B
【解析】∵数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn，
∴S?S)24，S84，S12?S8也构成等比数列，∴(S8?S4?S4(S12?S8)，
2
∵S4?10，S12?130，各项均为正数的等比数列{an}，
2∴(S8?10)?10(130?S8)，∴S8?40．故选B．
例6：等比数列{an}的首项为最小值之和为（ ） A．?311*，公比为?，前n项和为Sn，则当n?N时，Sn?的最大值与
Sn222 3B．?7 12C．
1 4D．
56【答案】C
3?1n?1?(?)?2?2???1?(?1)n．
【解析】依题意得，Sn?121?(?)2Sn?1?当n为奇数时，
0?Sn?15?； Sn611311?S?1??S?nS?随着的增大而减小，，随着Sn的增大而增大，n1nnnSn222当n为偶数时，Sn?1?1311S?n?S?S?1??1随着的增大而增大，，随着Sn的增大而增大，n2nnnSn242?71?Sn??0． 12Sn因此Sn?
557171?，故选C． 的最大值与最小值分别为、?，其最大值与最小值之和为?Sn6612412三、等差、等比数列的综合问题
例7：已知等差数列{an}的公差为?1，且a2?a7?a12??6． （1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前
n项和为Tn，若存在m?N*，使对任意n?N*，总有Sn?Tm??恒成立，求实数?的取值范围．
【答案】（1）an?5?n，Sn?
n(9?n)；（2）(2,??)． 23
【解析】（1）由a2?a7?a12??6，得a7??2，∴a1?4， ∴an?5?n，从而Sn?n(9?n)． 2b21?， b12（2）由题意知b1?4，b2?2，b3?1，设等比数列{bn}的公比为q，则q?1??4?1?()m?11?2????8??1?()m?，()m随m增加而递减， ∴Tm?12?2?1?2∴?Tm?为递增数列，得4?Tm?8． 又Sn?n(9?n)11?981???(n2?9n)???(n?)2??， 222?24?故(Sn)max?S4?S5?10，
**若存在m?N，使对任意n?N总有Sn?Tm??，则10?8??，得??2，
即实数?的取值范围为(2,??)．
四、数列与其他知识的交汇
例8：已知等差数列{an}的n项和为Sn，若OB?a1OA??a2016OC，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2016等于（ ） A．1007 【答案】B
【解析】∵A，B、C三点共线∴ABB．1008
C．2015
D．2016
??AC，
∴OB?OA??(OC?OA)，OB?(1??)OA??OC，
又∵OB?a1·OA?a2016OC，∴a1?1??，a2016??，∴a1?a2016?1， ∴S2016?
2016(a1?a2016)?1008，∴故选B．
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