发布时间 : 星期六 文章2020版高考数学第三章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数学案新人教A版更新完毕开始阅读1dba0bdd03020740be1e650e52ea551811a6c925
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
2019考纲考题考情
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。 (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z。 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝
l。 r(3)角度与弧度的换算
π?180?①1°＝rad；②1 rad＝??°。 180?π?(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S112
＝lr＝|α|·r。 223．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)。
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。
yx
1．区分两个概念
(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。 (2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。 2．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝，cosα＝，tanα＝。
yrxryx
一、走进教材
1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。 5π
答案 － 二
4
2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。
34
解析 由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－，cosθ＝，所以2cosθ－sinθ
554?3?11
＝2×－?－?＝。
5?5?5
答案
11 5
3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度。
答案
π 3
︵︵︵︵
4．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x＋y＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα 2 2 二、走近高考 ︵A．AB ︵C．EF ︵B．CD ︵D．GH 解析 设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得 ︵ yxP所在的圆弧是EF。故选C。 答案 C 三、走出误区 微提醒：①终边相同的角理解出错；②三角函数符号记忆不准；③求三角函数值不考虑终边所在象限。 9π 5．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 4A．2kπ－45°(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) 9 B．k·360°＋π(k∈Z) 45π D．kπ＋(k∈Z) 4 9π9π 解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混 44用，所以只有C正确。故选C。 答案 C 6．若sinα<0，且tanα>0，则α是( ) A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角 解析 由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角。故选C。 答案 C 7．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα<0，则tanα＝________。 解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由 y－x三角函数的定义得tanα＝＝＝－1。 xx答案 －1 考点一象限角及终边相同的角的表示 θθ?θ?【例1】 (1)设θ是第三象限角，且?cos?＝－cos，则是( ) 2?22?A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角 3ππθ ＋2kπ(k∈Z)，故＋kπ<222 (2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________。 解析 (1)因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<< 3ππθ3πθ ＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第二象限角；42242 3πθ7πθθ?θ?当k＝2n＋1时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第四象限角，又?cos?＝－cos， 2?22422?θθ 即cos<0，因此是第二象限角。 22 (2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°。 答案 (1)B (2)150° 1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角。 α* 2．确定kα，(k∈N)的终边位置的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围， kαα 再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。 kk【变式训练】 (1)设集合M???k＝?x?x＝·180°＋45°，k∈Z 2??? ?? ?，?? N＝