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近几年全国物理竞赛复赛力学
1.（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v0?0). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g. （30届复赛）
AB和BC在B段牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角?为锐
角，杆BC长为l，杆AB长为lcos?。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB延长
2.如图所示，两根刚性轻杆
线与挡板垂直。现使该系统以大小为v0、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球
A与挡板相碰，求夹角?应满足的条件。
（29届复赛）
3.（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离
r0=，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段
时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=°.已知：1AU=×10m，引力常量G=×10m?kg?s，太阳质量
11
-113
-1
-2
mS=×1030kg.试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0
的夹角表示）。（28届复赛）
P rP θP S P0 4、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l.
（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
（2）若μA=，μC=，θ=°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。（28届复赛）
D α B θ C A 5.（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为?m（?为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处. 1. 若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；
2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件. （30届复赛）
6.（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖
直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)
3.解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
（1）
x2y2?2?1 2ab
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2 3?2 （2） yaeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
P c?a?r0 （3）
a由图1可知，P点的坐标
bOS P0xb?a2?c2 （4） 图1 x?c?rPcos?P （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得
?a（7）
根据求根公式可得
22sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0
b2?a?ccos?P? rP?22asin?P?b2cos2?P（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=?Gmms (10) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms?mvP????? （11） ?2r2a?P?得
vP?Gms?代入有关数据得
vP21? （12） rPa=4.39?104m?s?1 (13)
设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律
rPvPsin????P??2? （14）
其中?为面积速度，并有
??代入有关数据可得
πab （15） TyP 由（9）、（13）、（14）、（15）式并
bo? ??127 （16） S axP0O
4.二、参考解答：
图2
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
y f1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地面
对杆AB的支持力，f2、N2为杆AB作用于杆
D ??N4 CD的摩擦力和支持力，N3、N4分别为墙对杆
B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x AB和CD的作用力，mg为重力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平
衡条件有
N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）
以及对A点的力矩 即
??O