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第10章 压杆稳定
10.1【学习基本要求】
1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】
1、压杆稳定的概念
稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。 ．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。 ．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）
【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆
理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。
3、细长压杆的临界力
细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为
?2EI?2EI (10.1) Fcr??2??l?2l0【说明】①EI为杆件的抗弯刚度；②l0=μl称为相当长度或计算长度，其物理意义为
各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。
4、细长压杆的临界应力
压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力，用σcr来表示。压杆在弹性范围内的临界应力为
?2EI?2EFcr? (10.2) ?cr?2?2A(?l)A?【说明】①这是欧拉公式的另一种表达形式。②EI为杆件的抗弯刚度。③I、A、i2=I/A
是只与杆横截面的形心主矩和截面面积，都是与截面形状和尺寸有关的几何量；④式中λ=μl/i称为压杆的柔度或长细比，它全面地反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷载的影响，是压杆的一个重要参数。
表10-1 各种约束条件下等截面细长压杆的长度系数 杆端支承情况 两端铰支 一端固定，一端铰支 两端固定 一端固定，一端自由 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 μ=1 μ=0.7 μ=0.5 μ=2 长度系数μ 5、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程为依据而得到的，因此欧拉公式的适用条件是材料在线弹性范围内工作，即临界应力不超过材料的比例极限，即
?2E ?cr?2??p或 ???E或???P (10.3)
??P【说明】①式中λ为压杆的柔度或长细比。②式中?P??E/?P，完全取决于材料的力学性质。③满足λ≥λp的压杆才能适用欧拉公式。④适用欧拉公式的压杆称为细长杆或
大柔度杆。 6、中长杆的临界应力
1）直线公式
对于中长杆，把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。
?cr?a?b? (10.4)
【说明】①式中a、b是与材料力学性质有关的系数，可以查相关手册得到。②临界应力σcr随着柔度λ的减小而增大。③该式适用于?S????P的压杆，称为中长杆或中柔度杆，式中?S?(a??S)/b，σS为材料的屈服极限。
2）抛物线公式
把临界应力?cr与柔度?的关系表示为如下形式
2??????? ????c? (10.5) ?cr??s?1?a?????c?????【说明】①式中σs是材料的屈服强度。②a是与材料性质有关的系数。③λc是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度。
7、粗短杆的临界应力
当压杆的柔度满足λ<λs条件时，这样的压杆称为粗短杆或小柔度杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度（或抗压强度σb）而发生失效，属于强度问题。
8、临界应力总图 以柔度λ为横坐标，以临界应力σcr为纵坐标，作出σcr-λ图，能够反映三类压杆的临界应力σcr随压杆柔度λ变化的情况，称为临界应力总图。图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应力
图10-1 总图。
9、压杆稳定计算的安全系数法
在对压杆进行稳定计算时，以临界应力除以大于1的安全系数所得的数值为准，即要求横截面上的正应力σ≤σcr/nst，通常将稳定条件写成下列用安全系数表达的形式：
?Fnw?cr?cr?nst (10.6)
?FN【说明】①式中，nst为规定稳定安全系数。②nw称为压杆的工作安全系数。③FN是
指压杆的轴力。④σcr和Fcr是指由临界应力总图得到的临界应力和临界力。
10、压杆稳定计算的折减系数法
nst稳定安全系数，[?]为强度计算时的许用应力。?称为折减系数，是一个小于1的数，是压杆长细比的函数，反映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的降低。
因此，对于同种材料制成的等截面压杆，稳定条件可表达为
F?w?N??[?] (10.7)
A如果定义[?]st??cr??[?]为稳定许用应力，其中σcr为压杆的临界应力，nst为规定
式中，FN为压杆轴向；A为压杆的横截面面积。
【说明】①利用式(10.6)或式(10.7)就可进行稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个方面的计算。②需要指出的是，当压杆由于钉孔或其他原因而使截面有局部削弱时，因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的，因此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响，而以毛面积进行计算。③在强度计算中，危险截面为局部被削弱的截面，应按净面积进行计算。
11、提高压杆承载力的措施 影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及合理选用材料等几个方面着手。 10.3【范例讲解】
? 例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆，弹性模量E＝200GPa，试用欧拉公式计算其临界力。
1）圆形截面，d=25 mm，l=1.0 m；
2）矩形截面，h＝2b＝40 mm，l＝1.0 m； 3）No16工字钢，l＝2.0 m。 解：1）圆形截面杆：
两端球铰： μ=1，
?d4I? ?1.9?10-8 m4 l 64 229?8?EI??200?10?1.9?10Fcr1???37.8 kN22??l??1?1?2） 矩形截面杆：
两端球铰：μ=1， Iy hb3 Iy??2.6?10-8 m4 12 229?8?EIy??200?10?2.6?10Fcr2???52.6 kN22??l??1?1?3） No16工字钢杆： 两端球铰：μ=1， Iy ?2EIy?2200?109?93.1?10?8Fcr3???459 kN 22??l??1?2?F d h b y z y z 图10-2 ? 例10-2图10-3所示矩形截面压杆，有三种支承方式。杆长l＝300 mm，截面宽度b＝20 mm，高度h＝12 mm，弹性模量E＝70 GPa，λp＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。试计算它们的临界力，并比较其大小。 F F F A-A h l l l A A b z y (c) (a) (b) 图10-3 解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度： ?l?lIy?Iz, iy?iz, ?y?, ?z?,??y??z iyiz长度系数： μ=2 ?y??liy?12?l12?2?0.3??173.2 h0.012压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；