发布时间 : 星期六 文章2017-2018学年高中数学必修4全一册学案（29份） 人教课标版28（优秀教案）更新完毕开始阅读1ba310d0ce84b9d528ea81c758f5f61fb6362806
．平面向量应用举例
[导入新知]
．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
()建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
()通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ()把运算结果“翻译”成几何关系． ．向量在物理中的应用
()物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． ()向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． ()动量是向量的数乘运算． ()功是力与位移的数量积． [化解疑难]
向量法在平面几何中的应用
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
()几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
()坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
平面几何中的垂直问题
[例] 如图所示，在正方形中，为对角线上任一点，⊥，⊥，垂足分别为，，连接，，求证：⊥.
[证明] 设正方形的边长为，＝(<<)， 则＝＝，＝＝－，＝，
∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF) ＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF
＝×× °＋×(－)× °＋×× °＋×(－)× °＝－＋＋(－)＝.
∴DP⊥EF，即⊥. [类题通法]
利用向量解决垂直问题
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
[活学活用]
如图，在正方形中，，分别为，
的中点．求证：⊥(利用向量证明)． 证明：设AB＝，AD＝， 则AF＝＋，ED＝－， ∴AF·ED＝· ＝－＋·.
又∵AB⊥AD，且AB＝AD， ∴＝，·＝，
∴AF·ED＝，∴AF⊥ED，即⊥.
平面几何中的长度问题 [例] 已知△中，∠＝°，设＝，＝. ()若为斜边的中点，求证：＝；
()若为的中点，连接并延长交于，求的长度(用，表示)．
[解] ()证明：以为坐标原点，以边，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如图所示，(，)，()．
∵为的中点， ∴，
∴CD＝，AB＝， ∴CD＝AB，即＝. ()∵为的中点，∴，
设()，则AE＝，AF＝(，－)． ∵，，三点共线， ∴AF＝λAE.
即(，－)＝λ.
则(\\\\(＝()λ，,－＝－()λ，))∴.
∴AF＝，即＝. [类题通法]
利用向量法解决长度问题
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式＝求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若＝(，)，则＝.
[活学活用]
如图，平行四边形中，已知＝，＝，
故λ＝，即＝，
对角线＝，求对角线的长． 答案：
向量在物理中的应用 [例] 在水流速度为4 的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．
[解] 如图所示，设AB表示水流速度，AC表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角线作?，则AD就是船的航行速度．
∵AB＝，AC＝， ∴AD＝BC＝， ∴∠＝＝，
∴∠＝∠＝°，∠＝°.
即船的航行速度为8，方向与水流方向的夹角为°. [类题通法]
利用向量法解决物理问题的步骤
()抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； ()建立以向量为主体的数学模型；
()利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； ()用数学模型中的数据解释或分析物理问题． [活学活用]
已知力(斜向上)与水平方向的夹角为°，大小为 ，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数μ＝ 的水平面上运动了．求力和摩擦力所做的功分别为多少．(取)
答案：和所做的功分别为 和－
“四心”问题)
[典例] 已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(，＋∞)，则点的轨迹一定通过△的心．
[解析] 由原等式得OP－OA＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△的中线所对应向量的倍，所以点的轨迹必过△的重心．
[答案] 重 [多维探究]
探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即可．上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关的问题也是各类考试常涉及的问题．
[活学活用]
．若动点满足OP＝OA＋λ，λ∈(，＋∞)，则点的轨迹一定通过△的心． 答案：内
．若动点满足OP＝OA＋λ)＋(ACAC )))通过△的心．
答案：垂
．若动点满足OP＝＋λ)＋(ACAC )))△的心．
答案：外
，λ∈(，＋∞), 则动点的轨迹一定通过
，λ∈(，＋∞)，则动点的轨迹一定
[随堂即时演练]
．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为( ) ．－ ．－
．＋