发布时间 : 星期四 文章均值不等式的证明方法及应用更新完毕开始阅读1b7d7c9e10a6f524cdbf8518
均值不等式的证明方法及应用
摘要
均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。
关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式
第1页 共20页
PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE
INEQUALITY
ABSTRACT
Average value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequality are first systematically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average value inequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximum and minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and proving integral inequality.
Key words: average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum;
limit; integral inequality
第2页 共20页
目 录
前言 --------------------------------------------------------------------- 4 1 均值不等式的证明方法 --------------------------------------------------- 5
1.1 柯西法 ------------------------------------------------------------ 5 1.2 数学归纳法 -------------------------------------------------------- 6 1.3 詹森不等式法 ------------------------------------------------------ 7 1.4 不等式法 ---------------------------------------------------------- 7 1.5 几何法 ------------------------------------------------------------ 8 1.6 排序法 ------------------------------------------------------------ 9 1.7 均值变量替换法 ---------------------------------------------------- 9 1.8 构造概率模型法 ---------------------------------------------------- 9 1.9 逐次调整法 ------------------------------------------------------- 10 1.10 泰勒公式法 ------------------------------------------------------ 10 2 均值不等式的应用 ------------------------------------------------------ 12
2.1 均值不等式在证明不等式中的应用 ----------------------------------- 12 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用 --------------------------------- 13 2.3 均值不等式在求最值问题中的应用 ----------------------------------- 13
2.3.1 均值不等式求最值时常见错误 --------------------------------- 14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 --------------------------- 16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 ----------------------------- 17 2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 ------------------------------- 19 2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 ------------------------------- 19 3 结论 ------------------------------------------------------------------ 21 参考文献: --------------------------------------------------------------- 22 致谢 -------------------------------------------------------------------- 23
第3页 共20页
前言
不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题. 均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答. 均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.
著名数学家阿基米德?1?最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究
?2?14?. 如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.
?9??8?冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发
挥着重要的作用.
本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.
第4页 共20页