发布时间 : 星期日 文章2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：压轴小题突破练3 Word版含解析更新完毕开始阅读1adbd42ee43a580216fc700abb68a98270feac27
3.与立体几何有关的压轴小题
1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为( )
2π＋42ππ4
A.＋4 B. C.＋4 D.π＋ 3333答案 D
解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
11
故其体积V1＝πr2h＝π×12×2＝π；
22
四棱锥的底面ABCD为边长为2的正方形，PO⊥底面ABCD，且PO＝r＝1. 114
故其体积V2＝S正方形ABCD×PO＝×22×1＝.
3334
故该几何体的体积V＝V1＋V2＝π＋. 3
2.如图，正四面体D－ABC的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是( )
1
A.O－ABC是正三棱锥 B.直线OB与平面ACD相交
C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为D.异面直线AB和CD所成的角是90° 答案 C
解析 ①如图ABCD为正四面体，
3
2
∴△ABC为等边三角形， 又∵OA，OB，OC两两垂直， ∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥BC. 过O作底面ABC的垂线，垂足为N， 连接AN交BC于M，可知BC⊥AM， ∴M为BC的中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点， ∴N为底面△ABC的中心， ∴O－ABC是正三棱锥，故A正确；
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行，则B正确；
③由图可知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为④异面直线AB和CD所成角是90°，故D正确.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABC.设直线FD与平面ABCF所成角为θ，则sin θ的最大值为( )
6
，则C错误； 3
2
1212A. B. C. D. 3423答案 C
解析 如图，在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于点O，交AB于点M.
设CF＝x(0＜x＜1)，AM＝t，
AMAD1由△DAM∽△FDA，得＝，即有t＝，
ADDF2－x1
由0＜x＜1，得＜t＜1.
2在翻折后的几何体中， ∵AF⊥OD，AF⊥OM，
∴AF⊥平面ODM，从而平面ODM⊥平面ABC， 又平面ABD⊥平面ABC，则DM⊥平面ABC，连接MF， 则∠MFD是直线FD与平面ABCF所成角，即∠MFD＝θ， 1
而DM＝1－t2，DF＝2－x＝，
tDM
则sin θ＝＝t1－t2＝－t4＋t2，
DF
111由于＜t2＜1，则当t2＝时，sin θ取到最大值，其最大值为.
422
4.(2017届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′－BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.3π B.答案 A
解析 由图示可得BD＝A′C＝2，BC＝3，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该外接球的表面积S＝4π×?
3?2
＝3π. ?2?3
33π C.4π D.π 24
5.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A.2 B.1 C.2 D.答案 C
解析 ∵球心在面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径， ∴∠BAC＝90°，底面外接圆圆心N位于BC的中点处， △A1B1C1外心M在B1C1中点上，
xx
设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1，
22x?2?x?2
∴??2?＋?2?＝1，
即x＝2，则AB＝AC＝1， ∴S矩形ABBA＝2×1＝2.
112
2
6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD体积的最大值是( )
A.36 B.123 C.24 D.183 答案 B
解析 ∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP， 同理BC⊥平面D1DCC1，则 BC⊥CP，∠APD＝∠MPC， ∴△PAD∽△PMC， ∵AD＝2MC，
∴PD＝2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)， 设P(x，y)，∵PD＝2PC，
∴x2＋y2＝2?x－6?2＋y2，化简得(x－8)2＋y2＝16(0≤x≤6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，23)，三棱锥P－BCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥P－BCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6，23)时，CP＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥1
P－BCD的体积V＝×18×23＝123，故选B.
3
4