发布时间 : 星期六 文章高考数学复习-导数的不等式恒成立问题更新完毕开始阅读1a0877b1f8b069dc5022aaea998fcc22bcd143e0
高考复习导数的不等式恒成立问题
【考查重点与常见题型】
题型一 运用导数证明不等式问题
例1 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. (1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知 f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，ln 2) － 单调递减 ln 2 0 2(1－ln 2＋a) (ln 2，＋∞) ＋ 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)， f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为 f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为 g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0， 所以g(x)在R上是增加的．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
已知f(x)＝xln x. (1)求g(x)＝
k
解：(1)g(x)＝ln x＋，
xx－k
∴令g′(x)＝2＝0得x＝k.
x∵x>0，∴当k≤0时，g′(x)>0.
∴函数g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k>0时g′(x)>0得x>k；g′(x)<0得0 f?x?＋k (k∈R)的单调区间； (2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立． x 1 h(x)，h′(x)的变化情况如下： x 1 (1，e) e (e，＋∞) h′(x) －1 － 0 ＋ h(x) e－2 0 故h(x)≥0.即f(x)≥2x－e. 题型二 利用导数研究恒成立问题 例2 已知函数f(x)＝ln x－a x . (1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性； (2)若f(x)在[1，e]上的最小值为3 2，求a的值； (3)若f(x) x＋x2＝x2.∵a>0，∴f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)由(1)可知，f′(x)＝x＋a x 2. ①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立， 此时f(x)在[1，e]上是增加的， ∴f(x)min＝f(1)＝－a＝33 2，∴a＝－2 (舍去)． ②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立， 此时f(x)在[1，e]上是减少的， ∴f(x)min＝f(e)＝1－a3e e＝2，∴a＝－2(舍去)． ③若－e 当1 2，∴a＝－e. 综上所述，a＝－e. (3)∵f(x) x 又x>0，∴a>xln x－x3. 令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2， h′(x)＝1 x－6x＝1－6x2x. 2 ∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0， ∴h(x)在(1，＋∞)上是减少的． ∴h(x) ∴当a≥－1时，f(x) 已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是__________． 答案 [4，＋∞) 解析 当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为 a≥3x－13x－1 x3，设g(x)＝x3，x∈(0,1]， (x)＝3x3－?3x－1??3x26?g′??x－12??x6 ＝－x4， g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表： x ??0，1?12? 2 ?1?2，1?? g′(x) ＋ 0 － g(x) 4 因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)． 导数与不等式的综合问题 典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. (1)解 f′(x)＝1＋2ax＋b x .[1分] 由已知条件得???f?1?＝0， ??1＋a＝0??f′?1?＝2，即?， ??1＋2a＋b＝2. 解得???a＝－1， ?? b＝3. [4分] (2)证明 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x. 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， 则g′(x)＝－1－2x＋3 ?x－1??2x＋3?x＝－x.[8分] 当0 所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．[10分] 3 而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0， 即f(x)≤2x－2.[12分] 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,2) C．(－3,6) 答案 B 解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0. ∴a>6或a<－3. 2． 曲线y＝f(x)＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 9 A.e2 4答案 D 解析 ∵点(2，e2)在曲线上， ∴切线的斜率k＝f′(2)＝e2， ∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0. 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)， 1e2 2 ∴S△＝×1×e＝. 22 3． 已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是 A．m>－22 C．m<22 答案 B 2x2＋mx＋1 解析 依题意知，x>0，f′(x)＝， x令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， m 当－≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m≥0成立， 4m 当－>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－22≤m<0， 4综上，m的取值范围是m≥－22. 4． 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产 B．m≥－22 D．m≤22 ( ) B．2e2 C．e2 e2D. 2 ( ) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 4