发布时间 : 星期一 文章用高等几何的方法证明中学几何题更新完毕开始阅读195effb8ec3a87c24028c494
哈尔滨学院本科毕业论文(设计)
第二章 高等几何的一些基本理论
2.1 平行射影
概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学?仿射几何学? 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
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1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
2.2 仿射象和中心射影
平面几何的特殊图形：圆、正三角形、菱形（包括正方形）和等腰梯形经过仿射变换作用分别变成一般图形:椭圆、任意三角形、平行四边形和任意梯形，反之存在仿射变换将这些一般图形对应成上述特殊图形。一般图形的特殊仿射象。这样，若在一般图形的命题中，仅仅涉及同素性、结合性、平行性、简单比、面积比等基本仿射性质和仿射不变量，就可以用题设图形的特殊仿射象来证明。特殊图形具有较多的条件，往往便于论证，并且常常可以借助特殊的度量性质来证明。既然一般图形和它的特殊仿射象具有相同的仿射性质，那么一般图形的原命题随着特殊图形的新命题的证明而得到证明
若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只需要恰当选择射影中心和象平面（使平行于确定的平面），总可以使直线的象直线时无穷远直线。由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题容易证明的新命题（通常是将点的问题化成平行的问题，从而可用仿射几何的特殊方法证明）。既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题，则原命题就得到了证明。
2.3 透视保持交比不变
射影几何学中基本的射影不变量之一。一般是用共线的四个点来定义的，亦称之为
调和比。早在古希腊，数学家和天文学家就注意到这一比值的特性。约公元100年，门内劳斯在《球面学》中用到了球面上的大圆弧相交的一个性质，类似于截线的交比不变性，用圆弧所对角的正弦比值来表示。公元4世纪，帕波斯在《数学汇编》中明确阐述了一种交比的性质：设有四条线交于一点，则从一条线上的一点出发的截线所截点之间的交比相等。到19世纪，施泰纳、施陶特等数学家已将交比作为他们的射影几何理论的基本工具，证明了四个共线点的交比在射影变换下不变的特性。
点列交比的公理化定义，共线四点A,B,C,D的齐次坐标分别为a,b,a+xb,a+yb,(A≠B),记（AB|CD）表示这四点构成的交比。定义为，（AB|CD）=x/y.点偶AB叫做基点对，点偶CD叫做分点对。
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若四点齐次坐标分别为a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，
(AB|CD)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]。其初等几何意义为（AB|CD）=(AC*BD)/(BC*AD),注意右边的线段长度是有向的。 交比具有射影不变性。
证明此性质，需要引入线束交比。类比点列交比的定义，我们可以自然的引入线束交比的定义。共点四线a,b,c,d,的齐次坐标为a,b,a+xb,a+yb，(a≠b).记（ab|cd）表示这四线构成的交比。定义为，
(ab|cd)=x/y.同样的，我们有：若四线齐次坐标分别 a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,
可以证明，(ab|cd)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]（1）。引入线束交比的初等几何意义，我们可以从我们熟知的直角坐标系入手。设pi（i=1,，2，3，4）为一线束，记其斜率为
ki,倾角为
ai,有（1）式可得，（p1p2|p3p4）
=[(k1-k3)(k2-k4)]/[(k2-k3)(k1-k4)]=[(tana1-tana3)(tana2-tana4)]/[(tana2-tana3)(tana1-tana4)]=[sin(a3-a1)*sin(a4-a2)][sin(a3-a2)*sin(a4-a1)]=[sin(p1p3)sin(p2p4)]/[sin(p2p3)sin(p1p4)].注：(p1p2)表示p1到p2的角，是有向的。 证明：交比是射影不变量。
证明（初等几何的证明）：令线束O(a,b,c,d)分别交l于ABCD。(AC*BD)/(BC*AD) =S△OAC*S△OBD)/(S△OBC*S△OBD) =[sin(ac)*sin(bd)]/[sin(bc)*sin(ad)]. 又考察各对应有向量方向相同，故原式成立。
由此可知，点列的交比与其对应线束的交比是相同的。保持线束不变，取另一直线l'交线束与A'B'C'D'.可视为对l作射影变换，（AB|CD）=（A'B'|C'D'）,由此说明交比是射影不变量。
上述说明在欧式平面内存在诸多漏洞，例如若p1//l,则没有交点。但是，在射影几何完整的公理化体系中有无穷远点和无穷远直线，拓广实数集等无穷元素来“弥补”。而这些元素更是射影几何的精华。
如上是对交比的说明，接近其公理化定义。
补充：若交比为-1，则称为调和比。以点列ABCD为例，称此为调和点列，也称点偶AB,CD相互调和共轭（调和分离），或称D为ABC的第四调和点。
同样，我们还可以定义圆锥曲线上四个点的交比。对于一条圆锥曲线C,任取上面一个点P,那么对于C上另外四个点，线束P(A,B,C,D)的交比取值同P的选取无关.于是，这个
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交比可以定义为圆锥曲线C上四点A,B,C,D的交比，同样可以极为(AB|CD). 反之，我们也可以采用这里的交比不变性作为圆锥曲线C的定义，也就是给定平面四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线，那么使得线束P(A,B,C,D)的交比取常数的P点轨迹是一条圆锥曲线。
2.4 调和共轭
已知共线四点A、B、C、D, 如果按此顺序的交比(AB, CD) = - 1, 那么就称C、D 关于A、B 成调和共轭, 或称A、B、C、D 成调和点列。对偶地, 对于共点的四直线a、b、c、d, 如果按此顺序的交比(ab, cd) = - 1则c、d 关于a、b 成调和共轭, 或称a、b、c、d 成调和线束。下面列举出可由调和共轭导引出的一些结论, 这里略去了全部结论的证明。
(1) 射影变换: 射影变换是将成调和共轭的任意四元素仍变为调和共轭四元素的点变换或线变换。
(2) 线段的中点: 线段的中点是这直线上无穷远点关于线段两端点的调和共轭点。 角的平分线: 角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭。
( 3) 线段的调和中项: 若A、B、C、D 成调和点列, 则线段CD 是线段CA 和CB 的调和中项。
(4) 关于圆的反演: 平面上(不在圆周上的) 一点P 关于已知圆的反演点P′是点P 关于连线PP′与圆的两交点的调和共轭点。
(5) 对合对应: 对合对应中的任一对对应点关于这对合的两个二重元素成调和共轭。 (6) 完全四点形的调和性质: 完全四点形过每一对角点有一组调和线束, 即过这对角点
的对角三角形的两条边关于过这对角点的完全四点形的两条边成调和共轭。
完全四线形的调和性质: 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列, 即这对角线上的对角三角形的两顶点关于这对角线上的完全四线形的两顶点成调和共轭。
(7) 关于二次曲线的共轭点: 给定点P, 若另一点P′使得点P、P′关于它们的连线PP′与二次曲线# 的两交点成调和共轭, 则点P′称为点P 关于二次曲线# 的一个共轭点。不难看出, 平面上点关于圆的反演点是其特例。 (8) 二次曲线的射影概念
①极线: 点P 关于二次曲线# 的极线是点P 关于# 的共轭点的轨迹。 ②切线: 二次曲线# 上一点P 处的切线就是该点P 关于# 的极线。
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