发布时间 : 星期一 文章湖北省武汉二中2014届高三全真模拟考试(二)(数学理)解析版更新完毕开始阅读18315a5a6aec0975f46527d3240c844768eaa012
4x+3y-8=0,M（2,0）,M到圆心的距离等于5,故|MN|的最大值为5?1. 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本题满分12分）
???已知函数f(x)??2sin(x?)?sinx?cosx?3sin2x,x?R.
3??（1）求函数f(x)的最小正周期；
???
（2）求f(x)在?0,?上的最大值和最小值.
?4?
【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值.
【答案解析】 （1）T??（2）f(x)max?2,f(x)min?1 解析 ：解：（1）f(x)?[2(sinxcos??cosxsin)?sinx]cosx?3sin2x 33??2sinxcosx?3cos2x?3sin2x?sin2x?3cos2x?2sin(2x?)
32???(6分) 21????5?（2）Q0?x?,??2x?? ??sin(2x?)?1,则1?y?2
234336?f(x)max?2,f(x)min?1 （12分）
?于是（1）函数f(x)的最小正周期T?【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为2sin(2x?(2)由x得范围得到2x??3),即可求出最小正周期T;
的范围，从而求得最大值和最小值. 318. （本题满分12分）
设数列?an?的前n项和为Sn,a1?1,且对任意正整数n,点(an?1,Sn)在直线2x?y?2?0上. （1）求数列?an?的通项公式；
2（2）若bn?nan,求数列?bn?的前n项和.
?【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【答案解析】 （1）an?()n?1 （2）Tn?12163n?4? 99?4n?1解析 ：解：（1）因为点(an?1,Sn)在直线2x?y?2?0上,所以2an?1?Sn?2?0 （1分）
当n?1时,2an?Sn?1?2?0 （2分）
两式相减得2an?1?2an?Sn?Sn?1?0,即2an?1?2an?an?0,an?1?an （3分）
11?a1 （4分） 2211所以数列?an?是首项a1?1,公比q?的等比数列,其通项公式为an?()n?1 （6分）
22n2?n?1, （7分） （2）由（1）知,bn?nan423n?1n记数列?bn?的前n项和为Tn,则Tn?1??2?L?n?2?n?1 （8分）
44443n?1n4Tn?4?2??L?n?3?n?2 （9分）
44412又当n?1时,2a2?S1?2?2a2?a1?2?0,a2? - 9 -
4n?34n?2163n?4所以数列?bn?的前n项和为Tn?? （12分）
99?4n?1两式相减得3Tn?5??L?141?1?n163n?4?? （11分） 4n?133?4n?1【思路点拨】（1）由已知条件可得2an?1?+Sn ?2?0,可得n≥2时, 2an?Sn?1?2?0,相减后再得数列{an}是以1为首项,公比为1的等比数列,再求出通项公式； 2（2）根据（1）和条件求出bn,再利用错位相消法求出其前n项和Tn,然后化简整理求出前n项和． 19. （本题满分12分）
如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB//CD,AB?BC,AB?2CD?2BC?2,EA?EB. （1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值； （2）线段EA上是否存在点F,使EC//平面FBD？若存在,求出
EF；若不存在,请说明理由. EA【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定; 向量语言表述线面的垂直、平行关系. 【答案解析】（1）3（2）略 3
解析 ：解：（1）设O为AB的中点,连接OD、OE,因为平面ABE?平面ABCD,且EO?AB,
所以EO?平面ABCD,所以EO?OD,在直角梯形ABCD中,由CD＝OB,CD//OB可得OD?AB,由OB、OD、OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA＝OB＝OD＝OE＝1 （2分） 由AB＝2CD＝2BC＝2得O(0,0,0),A(?1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1),
uuuruuur所以EC?(1,1,?1),平面ABE的一个法向量为OD?(0,1,0) （4分）
uuuruuuruuuruuur|ECgOD|3ruuur?设直线EC与平面ABE所成的角为?,所以sin??|cos?EC,OD?|?uuu, |EC||OD|3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为（2）存在点F,且
3 （6分） 3EF1?时,有EC//平面FBD （7分） EA3uuur1uuur?1uuur?41?2?证明如下：由EF?EA???,0,??,所以FB??,0,?? （8分）
33?3??3?3uuur??ngBD?0设平面FBD的法向量为n?(a,b,c),则有?uuu, rngFB?0????a?b?0?所以?4,取得a?1,得n?(1,1,2) （10分） 2a?c?0?3?3uuur因为ECgn?(1,1,?1)g(1,1,2)?0,且EC?平面FBD,所以EC//平面FBD.
EF1?时,有EC//平面FBD. （12分） 即点F满足
EA3【思路点拨】（1）由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,从而可得EO
uuurOD?(0,1,0), ⊥OD．建立空间直角坐标系,确定平面ABE的一个法向量为
- 10 -
uuurEC?(1,1,?1),利用向量的夹角公式,可求直线EC与平面ABE所成的角;
（2）存在点F,且EF1?时,有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量,证明 EA3uuurrEC?v?0即可.
20. （本题满分12分）
中国蓝球职业联赛（CBA）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总 决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元,以后每场比赛票房收 入比上一场增加a万元,当两队决出胜负后,求： （1）组织者至少可以获得多少票房收入？ （2）决出胜负所需比赛场次的均值.
【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用. 【答案解析】
解析 ：解：（1）设n为比赛的场数,an为第n场比赛的票房收入,
则a1?3a,an?an?2a,Sn?n2?5na （2分） 242?5?4a?18a万元 Qn?4,?组织者至少可以获得票房收入是：S4?2111141315C4()? （7分） P(??4)?C2()? （6分） P(??5)?C224285513161317P(??6)?C2C5()? （8分） P(??7)?C2C6()? （9分）
216216（2）（理）当?表示决出胜负的比赛场数,则?的取值为4,5,6,7, （5分）
?的概率分布列为：
? P 4 1 85 1 46 5 167 5 161155E??4??5??6??7??5.8125, （11分）
841616所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）
【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局,由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）,计算可得答案； （2）根据题意,要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望,可以设两队为甲队、乙队,再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7,分别计算ξ=4、5、6、7时的概率,进而由期望计算公式计算可得答案． 21. （本题满分13分）
33x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点A(1,),且离心率e?.
22ab（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点B(?1,0)的直线l,使得l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的
圆经过坐标原点O？若存在,求出直线l的方程；若不存在,说明理由.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. x2【答案解析】（1）?y2?1（2）略
4 - 11 -
解析 ：解：（1）由题意知e?2c3, ?a232212x24y222即c?a,b?a?c?a,所以,椭圆的方程为2?2?1 （2分）
44aa1123又因为A(1,)为椭圆上的点,所以2?2?1解得a2?4,可知b2?1,
a4a2x2所以,椭圆C的方程为?y2?1 （5分）
4（2）因为直线l经过椭圆内的点B(?1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线l333x2的斜率不存在时,其方程是x?1,代入?y2?1得y??,可知M(?1,),N(?1,?),
2224所以,以MN为直径的圆不经过坐标原点O （7分）
当直线l的斜率存在时,可设l的方程为y?k(x?1),M(x1,y1),N(x2,y2), ?x2??y2?1由?4得(1?4k2)x2?8k2x?4k2?4?0, ?y?k(x?1)??8k24k2?4, （9分） x1?x2?,x1gx2?1?4k21?4k2uuuuruuur若以MN为直径的圆经过坐标原点O,则OMgON?0 （10分） 可得x1x2?y1y2?x1x2?k(x1?1)gk(x2?1)?(1?k2)x1x2?k2(x1?x2)?k2?0
4k2?42?8k2即(1?k)?kg?k2?0,解得k??2.综上所述,存在过点B(?1,0)的直线l,使得以221?4k1?4kl被椭圆C截得的弦为直径的圆经过原点O,l的方程为y?2x?2或y??2x?2 （13分）
23x2y2),且离心率【思路点拨】（1）根据椭圆C：2?2?1(a?0,b?0)经过点A (1,2abe=
3222
,结合b=a-c,即可求得椭圆C的方程; 2（2）因为直线l经过椭圆内的点B（-1,0）,所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N．当直线l的斜率不存在时,其方程是：x=-1,以MN为直径的圆不经过坐标原点O,当直线l的斜率存在时,设方程是y=k（x+1）,将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN为直径的圆经过坐标原点O. 22. （本题满分14分）
设函数f(x)?x2?bln(x?1).
（1）若对定义域内的任意x,都有f(x)?f(1)成立,求实数b的值； （2）若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数b的取值范围；
（3）若b??1,证明对任意的正整数n,不等式?f()?1?k?1n1k111??L?成立. 2333n3【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【答案解析】
解析 ：解：（1）由x?1?0,得x??1. ?f(x)的定义域为??1,??? （1分）
因为对x?(?1,??),都有f(x)?f(1),?f(1)是函数f(x)的最小值, 故有f'(1)?0. （2分）
- 12 -