发布时间 : 星期一 文章2018年中考数学一轮复习第七章图形的变化数学文化讲堂六练习5更新完毕开始阅读177e83cefb0f76c66137ee06eff9aef8941e48b9
数学文化讲堂(六)
将军饮马问题
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教这个百思不得其解的问题． 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
1. 你能解决上面的问题吗？请画图说明．
2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图①，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB＋PE的最小值为________．
(2)几何拓展：如图②，△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值；
(3)代数应用：求代数式x＋1＋（4－x）＋4(0≤x≤4)的最小值．
2
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第2题图
答案
1. 解：如解图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A′，连接A′B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
如果将军在河边的另外任一点C′饮马，所走的路程就是AC′＋C′B，但是，AC′＋C′B＝A′C′＋C′B>A′B＝A′C＋CB＝AC＋CB.
可见，在C点外任何一点C′饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的：
(1)由作法可知，河流l相当于线段AA′的中垂线，所以AD＝A′D.
(2)将军走的路程是AC＋BC，就等于A′C＋BC，而两点之间线段最短，所以C点为最优．
第1题解图
2. 解：(1)10；
【解法提示】如解图①所示，作点B关于AC对称的对称点B′，连接B′E交AC于点P，
第2题解图①
此时PB＋PE的值最小．连接AB′. 在Rt△ACB中，
AB′＝AB＝AC＋BC＝2＋2＝22. 1
∴AE＝AB＝2，
2
∵∠B′AC＝∠BAC＝45°， ∴∠B′AB＝90°，
∴PB＋PE的最小值＝B′E＝B′A＋AE＝（22）＋（2）＝10.
(2)如解图②，作点B关于AC对称的对称点B′，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M.连接BM，AB′，此时BM＋MN的值最小，即BM＋MN＝B′M＋MN＝B′N.
222
2
2
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∵点B′与B关于AC对称， ∴AB′＝AB， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠B′AB＝60°， ∴△B′AB是等边三角形， ∴B′B＝AB＝2，∠B′BN＝60°， 又∵B′N⊥AB，
∴B′N＝B′B·sin∠B′BN＝2×
3
＝3； 2
第2题解图②
(3)构造图形，如解图③所示，
其中AB＝4，AC＝1，DB＝2，AP＝x，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B. ∵PC＋PD＝x＋1＋（4－x）＋4， ∴所求的最小值就是求PC＋PD的最小值．
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E⊥DB，交DB延长线于点E.则C′E＝AB＝4，DE＝2＋1＝3，
∴C′D＝C′E＋DE＝4＋3＝5， ∴所求代数式的最小值是5.
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第2题解图③