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由最小二乘配置分析极大验后估计与最小
二乘估计的异同
姓名：韩正道 学号：1072143208 班级：测绘10-2 指导老师：张会战
由最小二乘配置分析极大验后估计与最小二乘估计的异同 韩正道
内蒙古科技大学 内蒙古包头市 014010
关键词：最小二乘配置、最小二乘估计、极大验后估计
1.最小二乘配置：
配置又称拟合估计。最初是指组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法。而在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是在其函数模型中除包含随机部分外，还包括非随机的系统部分。这种兼有求定信号和倾向参数估值的情况在其他测量平差问题中也往往会出现，用广义最小二乘原理平差这类问题，称为最小二乘配置。此外，在地球形状重力场以及其他平差问题，常需要求定的是推估信号X和倾向参数的最佳估值，而倾向参数又往往是某种拟合函数的系数，因此配置法又称拟合推估。
在数学模型中，即包含有倾向参数Y，又包含有信号X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号的最优估值的方法，就是最小二乘配置。最小二乘配置的函数模型一般是 L=BX+GY+Δ
式中L为观测向量，Δ为观测噪声，Y为倾向参数，X为滤波信号。
n?1t?1'最小二乘滤波和推估：当模型中倾向参数y=0时，这是滤波模型，它是不存在倾向参数是的配置模型。根据广义最小二乘原理来导出滤波和推估公式，或者按最小二乘平差方法求解滤波和推估模型，称为最小二乘滤波和推估。 最小二乘配置的验后单位权方差：配置问题的先验单位权方差假定为
?2=1，
0所以噪声的协因数Q就等于其方差D?，信号X的先验协因数Q就等于DX。
?X最小二乘配置的估值公式：最小二乘配置的函数模型是L=BX+GY+Δ.用LX表示被当作虚拟观测值的先验期望?，将信号X当作非随机参数，写出观测方程
XLX?X??X
L'?XX??'X' L=BX+GY+Δ
2.最小二乘估计：
设被估计量是t维未知的参数向量X，观测向量为L（n>t）,其观测误差向
n?1量为?，观测方程为L=BX+Δ 式中B的秩rk(B)=t,E(Δ)=0,D(Δ)=D?,设X
n?1n?t的估值为X，则有V=BX-L
所谓最小二乘估就是要求估计值使下列二次项达到最小值：
?（X）=VPV=(BX-L)P(BX-L)=min
?T
^^?T
?其中P是一个适当选取的对称正定常数阵，记为XX称为X的最小二乘估值，
n?n^?? LS。
α?（x）T方法：将?（X）对X求自由极值。令其一阶导数为零，得=2VPB=0。^αx??转置BPV=BP(BX-L)=0
??α?（x）T
解的X=BPL/BPB。又因为=2BPB>0. 故X使?（X）达到极小值。 ^aX最小二乘估计的性质。
?2T
T
T T
?^① 最小二乘估计是一种线性估计，即X的估计量X?LS
是观测值的线性函数。
?② 当观测误差的数学期望E（?）=0时，E（L）=BX。 ③当观测误差的方差阵为D?，而去P=D?-1
或P=D?σ
-12
0 时，XLS的误差方阵
达到最小值。
④最小二乘估计不需要X的任何先验统计信息。
3.极大验后估计：
极大验后估计是f(x/l)=max为准则的估计方法，这里f(x/l)是随机参数向量X在观测向量L=
n?1n?1n?1l的条件下的条件概率密度，l仍表示L的观测值。给定
?了L的一组子样观测值l，由这组l可以按一定概率取得参数X的不同估值X。其中最佳估值的条件概率密度f(x/l)应为极大值。一般用估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值。
X^表示由极大验后
MA
X^应满足
MA?lnf(x/l)|^=0. x?XMA?x此方程为验后方程。
极大验后估计准则式f(x/l)=max等价于f(x,l)?max。
XMA =μ+DD(L-μ)
D(?)=D-DDD=D(X/L)
X?1x
^XLLL
^?1MAXXLLXL上两式就是当X、L为正态随机向量时，极大验后估计求X的估值方差的基本公式。
X^及其误差
MAX^是X的无偏估值。
MA极大验后估计考虑了参数X的先验统计特性，因此，当参数的先验期望μx和先
^验方差DX已知时，极大验后估计改善于最小二乘估计，此时极大验后估值
XMA的误差方差要小于其最小二乘估值XLS的误差方差。
极大验后估计与最小二乘估计的异同：
1.最小二乘估计是要求估值X使 ?（X）=VPV=(BX-L)P(BX-L)=min 而最小值，而极大似然估计是以f(x/l)=max为准则的估计方法，求的是最大值，目的不同。
2.最小二乘估计是一种X的估计量X??LS
???T
?T
?是观测值的线性函数，P是一个适当选
n?n取的对称正定常数阵，X称为X的最小二乘估值。 而f(x/l)是随机参数向量X在观测向量L=
t?1n?1n?1l条件下的条件概率密度，l
仍表
示L的观测值。给定了L的一组子样观测值l,由这组l可以按一定概率取得参数X的不同估值X，其中最佳的条件概率密度f(x/l)应为极大值。
3.在极大似然估计导出最小二乘估计的过程中，虽然将参数X作为随机向量，但在求最小二乘估计值X?LS?时，并不需要知道X的先验期望和先验方差。但最小
二乘估计实际上并未考虑参数的随机性质，在不知道参数的先验期望和先验方差，或参数是非随机量时，可应用最小二乘估计求其估值。
4.共同点：各种经典平差方法都是依据最小二乘估计准则VTPV=min去求未知参数X的最小二乘估值X
?LS和观测值的平差值L.
^ 总结
通过本学期对《广义测量平差》的学习，我意识到了结果精度对于测量成果的重要性，要想取得准确合格的测量结果，不仅需要在测量过程中加以认真观测，还需要在结果处理上加以科学合理的方法，两者缺一不可。用最小二乘配置分析极大验后估计与最小二乘估计的异同，需要掌握三种平差方法，自己加以融会贯通、掌握。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
参考文献
①崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰，于正林 广义测量平差 武汉大学出版社测
绘出版社，2009
②于正林，於宗俦，测量平差原理。武汉：武汉测绘科技大学出版社，1990