发布时间 : 星期一 文章2016高三数学二轮复习通关大考卷（全国卷）专题三数列专题过关更新完毕开始阅读16330c9acf84b9d528ea7af8
专题三 数 列专题过关·提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{an}为递增数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9等于( ) A．32
B．24
C．16
D．8
3．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，则S6等于( ) A．120
B．254
C．364
D．128
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若log2T2m－1＝9，则m的值为( ) A．4
B．5
C．6
D．7
5．各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝5S2，a2＝2且Sk＝31，则正整数k的值为( ) A．4
B．5
C．6
D．7
6．(2015·太原诊断)已知等比数列{a＋
n}的前n项和为Sn＝3n1＋a(n∈N*)，则实数a的值是( ) A．－3
B．－1
C．1
D．3
7．(2015·河北名校联盟质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝10，S4＝36，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( ) A.??－1
2，－2??
B．(－1，－1) C.??－1
2，－1??
D.??2，1
2?? 8．(2015·长沙模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－n.若按如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值是( ) A．12
B．11
C．10
D．9
9．(2015·衡水联考)已知数列{a1n}满足a1＝1，且an＝3an－1＋?1?3?n?(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}
的通项公式为( )
n
A．a3
n＋2
B．an＋2n＝ n＝3n C．an＝n＋2
D．an＝(n＋2)·3n
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋1＝2a6，且S7＝S10，则使得Sn取得最小值时，n的值是( ) A．8
B．9 C．8或9 D．10
11．(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{a1n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝4a1，则m
＋4
n的最小值为( ) A.3 B.52
C.253
6
D．不存在
12．(2015·郑州质检)设数列{a公比为q(q≠－1)的等比数列，若??1?11n}是首项为1，??an＋a?n＋1?是等差数列，则??a＋2a3?＋?1?a＋1?3a4?＋…＋?11?a＋?2 013a2 014?＋?1?a＋1?2 014a2 015?＝( ) A．2 012
B．2 013
C．4 024
D．4 026
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)
13．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 14．(2015·广州调研)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
15．(2015·江苏高考)设数列{a1，且a?1?n}满足a1＝n＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列??an??
前10项的和为________．
16．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{an}，已知a1＝3，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，且a1，a3，a11成等比数
列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．(本小题满分12分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{an}满足：an>0，a1＝5，Sn为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设b＝loga?1?
n5a2＋log54＋…＋log5a2n＋2，求数列??bn??的前n项和Tn.
19.(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
20．(本小题满分12分)(2015·济宁模拟)已知数列{bn＋13
n}满足Sn＋bn＝2，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
(1)求证：数列?
??
b1?n－2??
是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)如果对任意n∈N*，不等式12k
12＋n－2Sn≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围．
21.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设n∈N，x＋
n是曲线y＝x2n2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐
标．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)记Tn＝x21x23…x2
2n－1，证明T1n
≥4n.
22．(本小题满分12分)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝1－2Sn；将函数y＝sin πx在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{an}． (1)求{bn}与{an}的通项公式；
(2)设cn＝an·bn(n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和．若a2－2a>4Tn恒成立，试求实数a的取值范围．
专题三 数 列专题过关·提升卷
1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．A 7．A
8．B [由程序框图，及an＝2n－n.∴Sn＝(21－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝2(2n－1)－n（n＋1）
2
，
由Sn＋
1－n（n＋1）n>2 015，得2>2 017，由n∈N*2，知n≥11.∴输出n的值为11.]
9．B [由a11n＝3
an－1＋??3?n?，得3na－n＝3n1an－1＋1(n≥2)．
∴数列{3nan＋2
n}是以3为首项，公差为1的等差数列．因此3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，所以an＝3n.] 10．C [设等差数列{an}的公差为d.由S10＝S7，得a8＋a9＋a10＝0，知a9＝0，
又2a6＝a2＋a10＝a2＋1，得a10＝1，∴公差d＝a10－a9＝1>0，数列{an}单调递增．所以，当n≤8时，an<0，当n≥10时，an>0，因此{an}的前8项或前9项和最小．]
11．A [设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，则q＝2. 又am·an＝4a1，即
a·an＝16a2－－1，∴a21·2m1·2n1＝16a21，2
m＋n－m2
＝16. 则m＋n＝6，即1141
1＋4?＝1?5＋n＋4m?≥1?5＋2n4m6(m＋n)＝1.故m＋n＝6(m＋n)??mn?6?mn?6?m·n?1
3?＝6(5＋4)＝2， 当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时，上式等号成立．因此143
m＋n的最小值为2.]
12．D [因为??1?112
?an＋a?n＋1?是等差数列，则a＋＝＋a，
1＋a2a3＋a4a23又{a11n}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，∴
1＋q＋1
q2＋q3＝2·q＋q2?q＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为1的常数列，则an＝1. 故?11?a＋??＋?11?a＋?11?3a4?＋…＋??a＋2a32 014a2 015?＝4 026.]
13．5 [设数列的首项为a1，由等差数列与中位数定义，则a1＋2 015＝2×1 010，∴a1＝5.] 14．50 [∵a10a11＋a9a12＝2a1a20＝2e5
，∴a1·a20＝e5
，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1·a2·…·a20)＝ ln(a1·a20)10＝ln e50＝50.]
15.20
11 [∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 将上面n－1个式子相加，得a－a＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）
n1＝2＋3＋…＋n.∴an2(n≥2)，
又a1）
1＝1适合上式，因此an（n＋n＝
2
(n∈N*)， 令b12
11n＝a＝＋1）＝2??n－n＋1??
，
nn（n故S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝2????1－12??＋?1?2－13??＋…＋?1?10－111????＝2011
.] 16．285 [由an＋2－an＝1＋(－1)n，知，当n为奇数时，an＋2－an＝0；当n为偶数时，an＋2－an＝2. 所以数列a1，a3，a5，…，a29为常数列；a2，a4，a6，…，a30是公差为2的等差数列．又a1＝3，a2＝2，
因此S3＋a2＋a302＋30
30＝15×2×15＝45＋2×15＝285.]
17．解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由S7＝7a4＝77，得a4＝11，∴a1＋3d＝11，①
因为a1，a3，a11成等比数列，所以a23＝a1a11，整理得2d2
＝3a1d，又因d≠0.所以2d＝3a1②
联立①，②解得a1＝2，d＝3.所以{an}的通项公式an＝3n－1.
(2)因为b－
1n＝2an，所以bn＝23n1＝2·8n，所以数列{bn}是以4为首项，8为公比的等比数列，
4（1－8n）23n＋
2由等比数列前n项和公式得，T－4
n＝1－8
＝7.
18．解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0)．∵20S1，S3，7S2成等差数列，∴2S3＝20S1＋7S2. 则2(a＋aq2)＝20a，解得q＝5或q＝－5
11q＋a11＋7(a1＋a1q)．化简得2q2－5q－25＝02
. 由q>0.舍去q＝－52.所以数列{aa－
n}的通项公式an＝1qn1＝5n.
(2)由(1)知，a＋
2n＋2＝52n2，则log5a2n＋2＝2n＋2.
因此bn＝log5a2＋log5a4＋…＋log5a2n＋2＝2＋4＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)． ∴1111b＝＝－＋2
， n（n＋1）（n＋2）n＋1n∴T111n＝b＋＋…＋＝?1－1??1－1??1－1?11n1b2bn?23?＋?34?＋…＋?n＋1n＋2?＝2－n＋2＝
2（n＋2）. 19．解 (1)∵2Sn＝3n＋3，①∴当n＝1时，2a1＝2S1＝3＋3，∴a1＝3.
当n≥2时，2S－
－
n－1＝3n1＋3.②则①－②得2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n1，则an＝3n－
1.
所以a＝???3，n＝1，
n??
3n－1，n≥2.
(2)因为ab1－－－
1nn＝log3an，所以b1＝3，当n≥2时，bn＝31nlog33n1＝(n－1)·31n.所以T1＝b1＝3；当n≥2时，T1－－－
n＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×31＋2×32＋…＋(n－1)×31n3]，
所以3T－
n＝1＋[1×30＋2×31＋…＋(n－1)×32－
n]，
两式相减，得2T2＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－
n＝＋(30n3
211－
n
＝3＋－31－3－1－(n－1)×31－n＝136－6n＋2×3n3，所以T13n＝12－6n＋34×3n， 经检验，n＝1时也适合．综上可得T136n＋3n＝12－4×3n.
20．解 (1)对于任意n∈N*，Sn＋bn＋13n＝
2①S（n＋1）＋13
n＋1＋bn＋1＝2
②
②－①得b1111
n＋1＝2bn＋4，所以bn＋1－2＝2??b1n－2?? 又由①式知，S＋b147
11＝2，即b1＝2
.
所以数列???b1?11
n－2??是首项为b1－2＝3，公比为2的等比数列，
1n－2＝3×?2?n－1b1??，bn＝3×?1?2?n－1?＋12
. (2)因为b1?n＝3×??2?n－1?＋11112，所以Sn＝3??1＋2＋2
2＋…＋2n－1?n31－1?2n??n?＋2＝1－1＋2＝6?1?1－2n??＋n2. 2
因为不等式12k
n－2Sn≥2n－7，化简得k≥2n－n7，对任意n∈N*12＋2恒成立，
设c2n－72（n2n，则c－c＋1）－72n－79－2n
n＝n＋1n＝2n＋
1－2n＝2
n＋1， 当n≥5时，cn＋1≤cn，cn为单调递减数列，当1≤n<5时，cn＋1>cn，cn为单调递增数列，
116＝cc332n－734<5＝32，所以，n＝5时，cn取得最大值32，所以，要使k≥2n对任意n∈N*恒成立，k≥32. 21．(1)解 由y＝x2n＋
2＋1，得y′＝(x2n＋
2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋
1.
由导数的几何意义知，曲线y＝x2n＋
2＋1在点(1，2)处的切线斜率k＝2n＋2.
从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，得切线与x轴交点的横坐标x1n＝1－n＋1＝n
n＋1
， 故数列{xn}的通项公式xn＝
n
n＋1
(n∈N*)． (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知Tn＝x21x23…x2
2n－1＝
?12?2?
?
?3?4?22n－1?…?
?2n?2
?
. 当n＝1时，T1
1＝4.
2
2当n≥2时，因为
x2（2n－1）2
－12n－1＝
?2n－12n??＝（2n－1）（2n）2>（2n）2＝2n－2＝n－1?2nn. 所以T1n>??212n－1?12?×2×3×…×n＝4n.
综上可得对任意的n∈N*，均有T1
n≥4n
. 22．解 (1)由b2S1
n＝1－n，令n＝1，则b1＝1－2S1＝1－2b1，∴b1＝3.
又当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn－bn－1＝(1－2Sn)－(1－2Sn－1)＝－2bn. 因此3bn＝bn－1(n≥2，n∈N*)，
∴数列{b}是首项b11的等比数列．所以b－
1n1＝，公比为q＝n＝b1qn133＝3n. 令y＝sin πx＝0，x∈(0，＋∞)，得πx＝nπ(n∈N*)，
∴x＝n(n∈N*)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列． 于是数列{an}的通项公式a n＝n.
(2)由(1)知，cn123n
n＝an·bn＝3n，则Tn＝3＋32＋33＋…＋3n①
所以1n－13T13＋233＋…＋3n＋n
n＝23
n＋1②
由①－②，得23T111n11n＝3＋32＋…＋3n－3n＋1＝2??1－3n??－n3＝34－1n3
n＋1，于是Tn4·3n－1－2·3n<4，要使a2－2a>4Tn恒成立，则a2－2a≥3.解之得a≥3或a≤－1， 所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．