发布时间 : 星期六 文章高中数学人教A版必修四教学案：2.4 平面向量的基数量积含答案更新完毕开始阅读14d80e720042a8956bec0975f46527d3250ca6d0
；
(3)向量模的公式： ；
(4)向量的夹角公式： ．
讲一讲
1．(1)在平面直角坐标系xOy中，已知则实数t的值为________．
(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
＝(－1，t)，
＝(2，2)，若∠ABO＝90°，
(2)法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)， b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，
∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.
②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)， ∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23. 法二：①2a·(b－a) ＝2a·b－2a2
＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9) ＝14. ②(a＋2b)·c ＝a·c＋2b·c
＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1) ＝23. 答案：(1)5
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两
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条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
练一练
1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)， 所以a＝λb＝(λ，2λ)． 又a·b＝10，
所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a与b同向的条件， 所以a＝(2，4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0， 所以(b·c)·a＝0·a＝0.
[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？
名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得
＝a＝(x，y)，∴|
|
＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2－y1)，∴|＝(x2－x1，|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
讲一讲
2．(1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________． (2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： ①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标； ③与a垂直的单位向量的坐标．
[尝试解答] (1)∵a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，∴a－b＝(2x－1，3－x)－(1－x，2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝（3x－2）2＋（4－3x）2
＝18x2－36x＋20＝18（x－1）2＋2. ∴当x＝1时，|a－b|取最小值为2.
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(2)①∵a＝AB―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a|＝42＋（－3）2＝5.
1a
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
|a|54343
，－?或?－，?. 即坐标为?5??55??5
m3
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
n4又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
?m＝－5，34?
解得?m＝5，n＝5，或?
?4
?n＝－5，
34??34，或－，－?. ∴e＝?5??55??5答案：(1)2
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2. 练一练
2．已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c的坐标． 解：法一：设c＝(x，y)，则a·c＝(3，－1)·(x，y)＝3x－y，b·c＝(1，3)·(x，y)＝x＋3y，
3
?3x－y＝x＋3y，
由a·c＝b·c及|c|＝2，得?22
?x＋y＝2，
??x＝解得???y＝所以c＝?
??x＝－
或?3－1
，??y＝－2
3＋1，2
3＋1
，2
3－1
，2
3＋13－1??3＋13－1?或c＝?
???. ，－，－2?22??2?
法二：由于a·b＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此1
外，由于|c|＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b|＝22)的一半，故c＝(a＋b)＝
2
15
13－1?3＋13－1??3＋1?
?2，2?或c＝－2(a＋b)＝?－2，－2?. ????
[思考] 当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？
名师指津：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．
(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝讲一讲
3．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小． [尝试解答] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)． 设m、n的夹角为θ， m·n
则cos θ＝
|m||n|＝
（－3）2＋（－4）272＋12－252
＝－.
2252－3×7＋（－4）×1
x1x2＋y1y2
2＋y2·x11
2
x22＋y2
求解．
＝
3π
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
43π
即m、n的夹角为. 4
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝
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