发布时间 : 星期四 文章高考一轮复习资料空间角与空间距离更新完毕开始阅读147db53c67ec102de2bd892e
9.6 空间角与空间距离
知识要点
1.异面直线所成的角
（1）定义： 已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的 锐角（或直角） 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. （2）范围：?0,??π?. ?2?2.斜线与平面所成的角
（1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平面内的 射影 所成的角.当直线和平面平行时，称直线和平面成 0°角.当直线和平面垂直时，称直线和平面成 90°角. （2）范围： (0,3.二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角 ，这条直线叫做二面角的棱 ，这两个半平面叫做 二面角的面 . （2）二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为 端点 ，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角 . (3)求作二面角的方法
二面角的大小是用它的 平面角 来度量的.
找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：
①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.
②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.
③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.
④射影法：利用面积射影公式 S射=S原cos θ ，其中S原为原斜面面积，S射为射影面积， θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来. （4）范围：［0，π］.
π2) . 4. 三种空间角的向量法计算公式
(1)异面直线a，b所成的角θ：cosθ＝|cos〈a，b〉|；其中a，b分别为直线a，b的方向向量 ．
(2)直线a与平面α(法向量n)所成的角θ：sinθ＝|cos〈a，n〉|；其中a为直线a的 方向向量 ．
(3)锐二面角θ：cosθ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n为两个面的 法向量 ． 5.异面直线间的距离
两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 公垂线段 的长度. 6.求距离的常用方法与一般步骤 （1）求距离的常用方法
①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.
②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离. （2）求距离的一般步骤
“一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图规则，避免随意性）；
“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段（证明要符合逻辑且推理正确）； “三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取. 7、用向量法求距离的公式
AB?n(1)异面直线a，b之间的距离：d＝n，其中n⊥a，n⊥b，A∈a，B∈b.
AB?n(2)直线a与平面α之间的距离：d＝n，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量．
AB?n(3)两平行平面α，β之间的距离：d＝量．
AB?nn，其中A∈α，B∈β.n是平面α的法向
(4)点A到平面α的距离：d＝n，其中B∈α，n是平面α的法向量．
(5)点A到直线a的距离：, 其中B∈a，a是直线a的方向向量．
(6)两平行直线a，b之间的距离：向向量．
, 其中A∈a，B∈b，a是a的方
典型范例
例1． 如图所示，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC =60°，OA=OB=OC=a,BC=和平面α所成的角.
分析：首先应确定A点在平面α内射影的位置,这样就可得到OA与平面α所成的角,进而求之. 解：∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°, ∴△AOB、△AOC为正三角形. ∴AB=AC=a. ∵BC=2a，∴AB+AC=BC，
∴△BAC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形. 过A作AH垂直平面α于H，连结OH， ∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心.
∴H在BC上，且H为BC的中点. ∴∠AOH为直线OA与平面α所成的角. 在Rt?AOH中,AH?22a,?sin?AOH?AHAO?22,??AOH?45?
2
2
2
2a，求OA
即AO和平面α所成的角为45°.
点评：（1）确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解. （2）求斜线与平面所成角的步骤： ①寻找过直线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足得出射影，确定出所求角； ③把该角放入三角形中计算.
（3）直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面角时，应想到以上两种特例.
变式1：如图所示，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC.求AD与平面ABC所成角的大小. 解：∵AB⊥平面BCD, ∴∠ADB=30°. ∵CD⊥CB,由三垂线定理得DC⊥CA,
∵AC∩CB=C，∴DC⊥平面ABC,即∠CAD是AD与平面ABC所成角.
设AB=BC=a,则AC=2a, BD=3a, AD=2a.
在Rt△ACD中,∠CAD=45°,即AD与平面ABC所成的角为45°. 例2．如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°,
PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=23，BC=6. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求二面角P—BD—A的大小.
分析：对于问题（2），由（1）知棱BD⊥平面PAC，则可找到二面角的平面角. （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.
又tan?ABD?ADAB?33,tan?BAC?BCAB?3,
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. （2）解：如图所示，连结PE， ∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE， ∴∠AEP为二面角P—BD—A的平面角. 在Rt△AEB中，
AE=AB·sin∠ABD=3，?tan?AEP?APAE?3,
∴∠AEP=60°,∴二面角P—BD—A的大小为60°. 点评：利用垂面法找出平面角再转化到直角三角形中求解. 变式2： 如右图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a,
AA1=2a,D为BC的中点，E为CC1上的点，且CE?14CC1.