发布时间 : 星期二 文章数学归纳法及应用举例更新完毕开始阅读127e122031b765ce050814cd
数学归纳法及应用举例
重点难点分析：
（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。 （3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题： 例1．证明：
证明：①当n=1时，左 ②假设n=k时等式成立， 即
n=k+1时，
+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2]
=-k(k+1)(4k+3)。
=-n(n+1)(4n+3)。
，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14) =-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。 由①②知，当n∈N′时等式成立
例2．试证Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。 证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3) 由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。 综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成pn个部分，∴pn=n2-n+2 ①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
②假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把空间分成pk=k2-k+2个部分， 那么当n=k+1时，即如果再有一个平面a适合条件，那么，在平面α上必有k条交线，
∴平面α被分成2k个部分，∴pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2。 ∴当n=k+1时，pn=n2-n+2成立。 综上①②可知对任何n∈N′，命题成立。
点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等。
例4．若不等式并证明你的结论。
对一切正自然数n都成立，求自然数a的最大值，
证明：n=1时，
，即
1
，所以a<26，而a∈N，所以取a=25，
用数学归纳法证明： (1) n=1时，已证。
。
(2) 假设当n=k时，有：， 则当n=k+1时，有
所以①②知对一切n∈N′ 都有：
。
例5．在{an}中，已知a1=-lga, an-1=an-lgan-1 (n≥2)，先求出a2,a3,a4，推测{an}的通项公式，并用归纳法证明。 解析：因为an-1=an-lgan-1 (n≥2)，所以an=an-1+(n-1)lga (n≥2)，
又a1=-lga, 所以a2=a1+(2-1)lga=-lga+(2-1)lga=(-1+2-1)lga, a3=a2+(3-1)lga=(-1+2-1+3-1)lga, a4=a3+(4-1)lga=(-1+2-1+3-1+4-1)lga。
由此推判。
（1）n=1时，，猜想正确。
（2）假设n=k时，猜想正确，即，
则， n=k+1时，猜想正确。
由（1）（2）知，对于任意n∈N′，都有
训练题：
。
1．用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数
（n≥4,n∈N）时，f(k+1)与f(k)的关系是______。
2．k为正偶数，p(k)表示等式式______。p(4)表示等式______。由p(k)
，则p(2)表示等
p(k+2)时，可在p(k)两边同时加上____。
2
3．证明 34n+2+52n+1 (n∈N′)能被14整除。
4．证明(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3·5……(2n-1) (n∈N′)
′5．已知。
（1）计算
参考答案：
及的值。 （2）归纳出 (n∈N′)的值，再用数学归纳法加以证明。
1．f(k+1)=f(k)+k-1 2．
3. ①n=1时，36+53=61×14能被14整除。 ②假设n=k时命题成立，那么n=k+1时，
也能被14
整除（以下略）。
4．①当n=1时，等式左边=2，等式右边=2，∴等式成立。
②假设n=k(k∈N′)等式成立，即(k+1)(k+2)……(k+k)=2k·1·3·5……(2k-1)成立，
那么n=k+1时，(k+2)(k+3)……(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)(2k+1) =2k+1·1·3·5……(2k-1)[2(k+1)-1] 即n=k+1时等式成立。（以下略）。
′5．(1) ，。 (2) 猜想 (n∈N′)
证明：①n=1，2时，已证。
②假设n=k及n=k-1 (k≥2)，命题成立，
即，，
则n=k+1时，
（以下略）。（注意这种证明方法与前面的方法不同）
在线测试 1．使|n-5n+5|=1不成立的最小的正整数是（ ）。
2
A、2 B、3 C、4 D、5
2．证明
A、1
B、1+a
C、1+a+a
2
，在验证n=1命题成立时，其左边等于（ ）。 D、1+a+a+a
2
3
3
3．设，则（ ）。
A、S(n)共有n项，当n=2时， B、S(n)共有n+1项，当n=2时，
C、S(n)共有n-n项，n=2时，
n
2
n
D、S(n)共有n-n+1项，n=2时，
2
4．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x+y能被x+y整除”时，在验证n=1正确后，归纳假设应
写成（ ）。
A、假设n=k (k∈N)时，x+y能被x+y整除 B、假设n=k (k∈N)时，x
′′
2k-1
′
k
k
+y
2k-1
能被x+y整除
2k+1
C、假设n=2k+1 (k∈N)时，xD、假设n=2k-1 (k∈N)时，x
′
2k+1
+y+y
能被x+y整除 能被x+y整除
2k-12k-1
5．证明：时，第一步应证下述哪个不等式成立（ ）。
A、1<2 B、 C、 D、
答案与解析
1.提示：可以采用排除法，逐个代入检验。D
3.提示： ，因为首项为 ，所以有 项。
4.提示：首先归纳假设中n的取值要满足为正奇数，所以排除A、B；其次还要满足n的取值不小于1，所以排除C；答案为D。 5.提示：因为
不完全归纳法应用举例
不完全归纳法是通过对一类事物中部分个体的研究，推断出这一类事物的一般性结论的推理方法。过程通常是：选取个体——观察分析——推测结论。不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用，对于解选择题和填空题十分适用，对于某些与自然数有关的解答题也可帮助探索，但要用数学归纳法证明。下面通过例题来说明不完全归纳法的应用。 一、利用不完全归纳法解选择题
例1．已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2)，a1=a, a2=b，记Sn=a1+a2+……+an，则下列结论正确的是（ ）。 A、a100=-a, S100=2b-a B、a100=-b, S100=2b-a C、a100=-b, S100=b-a D、a100=-a, S100=b-a 解：a3=a2-a1=b-a, S3=a1+a2+a3=2b；a4=a3-a2=-a, S4=S3+a4=2b-a；
a5=a4-a3=-b, S5=S4+a5=b-a；a6=a5-a4=a-b, S6=S5+a6=0；a7=a6-a5=a, S7=S6+a7=a。
4
，所以，第一步证明n=2时等式成立。