发布时间 : 星期五 文章高考数学第一轮复习用书利用导数研究函数的单调性文更新完毕开始阅读0fa8cf924228915f804d2b160b4e767f5acf80b2
第24课 利用导数研究函数的单调性
1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f?(x)、g?(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，则当a?x?b时，有（ ）
A．f(x)g(b)?f(b)g(x) B．f(x)g(a)?f(a)g(x) C．f(x)g(x)?f(b)g(b) D．f(x)g(x)?f(a)g(a) 【答案】C
【解析】设F(x)?f(x)?g(x)，则F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，
∴ F(x)在R上是减函数，得F(a)?F(x)?F(b)，∴ f(x)g(x)?f(b)g(b)．
2．函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f?(x)?2，则f(x)?2x?4的解集为（ A．(?1,1) B．(?1,??) C．(??,?1) D．(??,??)
【答案】B
【解析】令g(x)?f(x)?2x?4，则g?(x)?f?(x)?2?0， ∴g(x)在R上为增函数，
∵g(?1)?f(?1)?2?(?1)?4?0， ∴由g(x)?0，得x??1． 3．已知f(x)?ex?ax?1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围． 【解析】（1）∵ f?(x)?ex?a.
（1）若a?0，f?(x)?ex?a?0恒成立，即f(x)在R上递增.
若a?0,f?(x)?ex?a?0,∴ex?a, x?lna.
∴f(x)的单调递增区间为(lna,??).
（2）∵f(x)在R上递增，∴f?(x)?0在R上恒成立. ∴ex?a，即a?ex在R上恒成立.
∴a?(ex)，又∵exmin?0，∴a?0.
综上：当a?[?2,3]时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递增．
） 4.（2012东城二模）已知函数f(x)??12x?2x?aex． 2（1）若a?1，求f(x)在x?1处的切线方程； （2）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由a?1，f(x)??x123x?2x?ex，f(1)??e， 22 ∴f?(x)??x?2?e，∴f?(1)?1?e， ∴所求切线方程为y?(?e)?(1?e)(x?1)，
即2(1?e)x?2y?1?0．
321（2）由已知f(x)??x2?2x?aex，得f?(x)??x?2?aex．
2 ∵函数f(x)在R上是增函数，
∴f?(x)?0恒成立，即不等式?x?2?aex?0恒成立．
?x?2． xe?x?2x?3?令g(x)? ,g(x)?.exex
整理得a?x,g?(x),g(x)的变化情况如下表：
x g?(x) (??,3) 3 (3,??) + ? 0 极小值 g(x)
?3 由此得a?g(3)=?e?3，即a的取值范围是??,?e??．
?
5．（2012石景山一模）已知函数f(x)?x?2alnx．
（1）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）求函数f(x)的单调区间； （3）若函数g(x)?22?f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围． x2a2x2?2a?【解析】（1）f?(x)?2x?， ……1分 xx 由已知f?(2)?1，解得a??3． ……3分 （2）函数f(x)的定义域为(0,??)．
①当a?0时, f?(x)?0，f(x)的单调递增区间为(0,??)；
②当a?0时f?(x)?2(x??a)(x??a)．
x
当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下：
x (0,?a) - ?a (?a,??) f?(x) f(x) 0 极小值 + 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,?a)； 单调递增区间是(?a,??)． （3）由g(x)?222a， ?x2?2alnx，得g?(x)??2?2x?xxx 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g?(x)?0在[1,2]上恒成立，即? 即a?22a?2x??0在[1,2]上恒成立． 2xx1?x2在[1,2]上恒成立． x1211令h(x)??x，x?[1,2]，∴h?(x)??2?2x??(2?2x)?0，
xxx7∴h(x)在[1,2]为减函数． h(x)min?h(2)??,
27∴a??．
26．（2012东莞一模）已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R)． x
（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
1时，讨论f(x)的单调性． 22【解析】（1）当a?－1时，f(x)?lnx?x?－1,x?(0,??)，
x12 ∴f?(x)??1－2，f(2)?ln2?2，f?(2)?1，
xx∴所求的切线方程为y?x－ln2．
1?a（2）∵f(x)?lnx?ax??1，
x（2）当a?ax2?x?1?a1a?1∴f?(x)??a?2?? x?(0,??)， 2xxx令g(x)?ax?x?1?a,x?(0,??), 当a?0时，g(x)?－x?1, x?(0,??)
∴x?(0,1)时，g(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减，
2x?(1,??)时，g(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增，
当a?0时，由f?(x)=0，解得x1?1,x2?①若a?1?1， a1，函数f(x)在(0,+?)上单调递减， 2111②若0?a?，在(0,1), (－1，??)单调递减，在(1, －1)上单调递增．
2aa1③ 当a?0时，由于?1?0，
ax?(0,1)时，g(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； x?(1,??)时，g(x)?0，此时函数f?(x)?0，函数f(x)单调递增．
综上所述：
当a?0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增，
1时，函数f(x)在(0,??)上单调递减； 2111，??)上单调递减； 当0?a?时，函数f(x)在(0,1), (－2a11)上单调递增． 函数 f(x)在(1, －a当a?