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高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算
知 识 梳 理
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim(2)函数f(x)的导函数f′(x)＝lim
f（x0＋Δx）－f（x0）
.
Δx?x?0
f（x＋Δx）－f（x）
为f(x)的导函数.
Δx?x?0
2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有： 考点一 导数的计算
【例1】 求下列函数的导数：
?211?x(1)y＝eln x；(2)y＝x?x＋＋3?；
?
xx?
1?x1?xxxx13
解 (1)y′＝(e)′ln x＋e(ln x)′＝eln x＋e＝?ln x＋?e.(2)因为y＝x＋1＋2，
x?x?
x2?1?32
所以y′＝(x)′＋(1)′＋?2?′＝3x－3.
x??
x【训练1】 (1) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e
1
解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B
x (2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.
1?? (2)f′(x)＝a?ln x＋x·?＝a(1＋ln x).由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案 (2)3
?x?
考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程
【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e切线方程是________.解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝e所以当x>0时，f(x)＝e
x－1
x－1
－x－1
－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的
x－1
＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝e
0
＋x，
＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝e
x－1
＋1，f′(1)＝e＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，
2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案 2x－y＝0
【训练2】(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，
??y0＝x0ln x0，∴?解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝?y0＋1＝（1＋ln x0）x0，?
x－1，即x－y－1＝0.答案 B
命题角度二 求切点坐标
1x【例3】 (2017·西安调研)设曲线y＝e在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐
x标为________.
1xx0
解析 由y′＝e，知曲线y＝e在点(0，1)处的切线斜率k1＝e＝1.设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－
x1
x2
11
，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－2.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.
xm则点P的坐标为(1，1).答案 (1，1)
【训练3】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.解析 (1)由题1
意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以
xn＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e). 答案 (1)(e，e)
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例4】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
1
解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－
2
x1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a－8a＝0，解得a＝8.答案 8
222
【训练4】1.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________. 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1111
＋a，即＋a在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因为a＞0，所以2－＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).答案
xxxx(2)(－∞，2)
2.点P是曲线x－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( ) A.1 B.
3 2
2
2
C.5
D.2 2
解析 点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距112
离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x－ln x，得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故曲线yx2＝x－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2.答案 D
2
第2讲 导数在研究函数中的应用
知 识 梳 理
函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设f(x)＝e(ax＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性.
解 f′(x)＝e(ax＋x＋1)＋e(2ax＋1)＝e[ax＋(2a＋1)x＋2]＝e(ax＋1)(x＋2)
1?11xx?2
＝ae?x＋?(x＋2)①当a＝时，f′(x)＝e(x＋2)≥0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增；
22?a?1?111x?②当0＜a＜时，有＞2，令f′(x)＝ae?x＋?(x＋2)＞0，有x＞－2或x＜－，
2aa?a?
1?1?1?x?令f′(x)＝ae?x＋?(x＋2)＜0，有－＜x＜－2，∴函数f(x)在?－∞，－?和(－2，＋∞)上单调递增，在
x2
x2
xx2x?a?
a?a?
?－1，－2?上单调递减；③当a＞1时，有1＜2，令f′(x)＝aex?x＋1?(x＋2)＞0时，有x＞－1或x＜－2，令
?a??a?2aa????
f′(x)＝aex?x＋?(x＋2)＜0时，有－2＜x＜－，
a?a?
1??1??∴函数f(x)在(－∞，－2)和?－，＋∞?上单调递增；在?－2，－?上单调递减.
?
1?
1
?a??a?
1e2
【训练1】(2016·四川卷节选)设函数f(x)＝ax－a－lnx，g(x)＝－x，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的
xe底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.
12ax－1
(1)解 由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0
2
xx时，由f′(x)＝0有x＝
1
2a，当x∈?0，
?
?
1??1，＋∞?时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈???时，f′(x)>0，2a??2a?
f(x)单调递增.(2)证明 令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝
11
－x－1>0. xe
考点二 求函数的单调区间
432
【例2】 (2015·重庆卷改编)已知函数f(x)＝ax＋x(a∈R)在x＝－处取得极值.
3(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)e，求函数g(x)的单调减区间.
416?4?2
解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′?－?＝0，即3a·＋39?3?1?4?16a8
2·?－?＝－＝0，解得a＝.
2?3?33
x?132?x?32?x?132?x?1352?x1x(2)由(1)得g(x)＝?x＋x?e故g′(x)＝?x＋2x?e＋?x＋x?e＝?x＋x＋2x?e＝x(x＋1)(x＋4)e.令
22?2??2??2??2?
g′(x)<0，得x(x＋1)(x＋4)<0.解之得－1 xa3 【训练2】 已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y4x2 1 ＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间. 2 1a113 解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－2－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a4xx245x53x－4x－5 ＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，(x>0).则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－2444x24x1或x＝5.但－1?(0，＋∞)，舍去.当x∈(0，5)时，f′(x)<0；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点三 已知函数的单调性求参数 12 【例3】 (2017·西安模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋2x(a≠0). 2(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 121 解 (1)h(x)＝ln x－ax－2x，x>0.∴h′(x)＝－ax－2.若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0 2x1?211212?时，－ax－2<0有解，即a>2－有解.设G(x)＝2－，所以只要a>G(x)min.(*)又G(x)＝?－1?－1，所以G(x)min 2 xxxxx?x? ＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞). 112 (2)由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，(**)则a≥2－恒成立，所 xxx1?1?7?1?以a≥G(x)max.又G(x)＝?－1?－1，x∈[1，4]因为x∈[1，4]，所以∈?，1?，所以G(x)max＝－(此时x＝x?4?16?x?771716＋7x－32x（7x－4）（x－4） 4)，所以a≥－.当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝，∵x∈[1，4]，∴h′(x) 1616x1616x16x＝ （7x－4）（x－4） ≤0，当且仅当x＝4时等号成立.(***) 16x2 2 ?7?∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是?－，＋∞?. ?16? 【训练3】 已知函数f(x)＝x－ax－1. (1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1，1)，求a的值. 解 (1)因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x－a≥0在R上恒成立，即a≤3x对x∈R恒成立.因为3x≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x≥0，当且仅当x＝0时取等号.∴f(x)＝x－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是(－∞，0].(2)f′(x)＝3x－a.当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以a≤0不合题意.当a>0时，令3x－a<0，得－依题意，3a＝1，即a＝3. 3 2 2 2 3 2 2 2 3