发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学必修四教学案（16份） 人教课标版（优秀教案）更新完毕开始阅读0a90bcae66ec102de2bd960590c69ec3d4bbdb39
()一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 弧度 ° ° ° ° ° ° ° ° ° π ()扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为，弧长为，α为其圆心角，则
扇形的弧长 扇形的面积 α为度数 ＝ ＝ [问题思考] ()在大小不同的圆中，长为的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长为的弧是指弧的长度为，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
()比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：无关．
()在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？
提示：不能省略．
()你认为式子“α＝·°＋，∈”正确吗？
提示：不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．
[课前反思]
()角度制的定义：； ()弧度制的定义：
()任意角的弧度数与实数的对应关系： ；
()角的弧度数的计算公式： ；
()角度与弧度的互化： ；
()扇形的弧长及面积公式：
α为弧度数 ＝α ＝＝α ．
讲一讲
．有关角的度量给出以下说法： ①°的角是周角的， 的角是周角的； ②的角等于度的角； ③°的角一定等于π的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是．
[尝试解答]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为 ＝°≈°≠°，故②不正确．
答案：①③④
()解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系．
()角度制和弧度制的比较：
①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
②弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．
③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．
练一练
．下列说法正确的是( )
．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系 ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应
．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同 ．－°的弧度数是 答案：
讲一讲
．把下列角度化成弧度或弧度化成角度： ()°；()－°；()；()－. [尝试解答] ()°＝×＝； ()－°＝－×＝－； ()＝×°＝°； ()－＝－°＝－°.
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π＝°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
练一练
．已知α＝－°，α＝°，β＝，β＝－.
()将α，α用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
()将β，β用角度表示出来，并在－°～°范围内，找出与它们有相同终边的所有角． 解：()α＝－°＝－＝－，
α＝°＝＝.
∵α＝－＝－×π＋，
α＝＝×π＋，
∴α是第二象限角，α是第一象限角． ()β＝＝×°＝°， 设θ＝·°＋°(∈)， 则由－°≤θ＜°， 得－°≤·°＋°＜°(∈)， 解得＝－或＝－，
∴在－°～°范围内，与β有相同终边的角是－°和－°；
β＝－＝－×°＝－°，
设γ＝·°－°(∈)，
则由－°≤·°－°＜(∈)， 得＝－或＝，
∴在－°～°范围内，与β有相同终边的角是－°和－°.
讲一讲
．()已知扇形的周长为 ，圆心角为，则扇形的面积为.
()已知一半径为的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[尝试解答] ()设扇形的半径为 ，弧长为 ，由圆心角为 ，依据弧长公式可得＝，从而扇形的周长为＋＝＝，解得＝，则＝.
故扇形的面积＝＝××＝ .
()设扇形的弧长为，由题意得π＝＋，所以＝(π－)，所以扇形的圆心角是＝(π－)，扇形的面积是＝(π－).
答案：()
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
()明确弧度制下扇形的面积公式是＝＝α(其中是扇形的弧长，是扇形的半径，α(＜α＜π)是扇形的圆心角)．
()涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． 练一练
．已知扇形的周长是 ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α(<α<π)，半径为，面积为，弧长为， 则＋＝， 故＝－， 从而＝＝(－) ＝－＋ ＝－＋，
所以，当＝ 时，α＝，扇形面积最大，最大面积为.
——————————————[课堂归纳·感悟提
升]———————————————
．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．
．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式