发布时间 : 星期五 文章2020年高考数学(理)二轮专项复习专题07-立体几何更新完毕开始阅读0a09dd785a0216fc700abb68a98271fe910eaf9a
图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．
将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．
③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积：
①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高．
1ch?，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高． 21③S正棱台侧面积?(c?c?)h?，其中c＇，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台的斜高．
2②S正棱锥形面积?④S圆柱侧面积＝2?Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高． ⑤S圆锥侧面积＝?Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长．
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⑥S球＝4?R，其中R是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：
①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．
1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 31③V台体?h(S?SS??S?)，其中S＇，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体的高．
34④V球?πR3，其中R是球的半径．
3②V锥体?
【复习要求】
1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；
2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】
例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．
(Ⅰ)证明：PA⊥BC；
(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．
【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．
证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD． ∵P－ABC是正三棱锥，
∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形． ∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD， ∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．
(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，PD?∴S?PBC?PB2?BD2?14b2?a2, 21aBC?PD?4b2?a2. 243a4b2?a2. 4∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P－ABC的侧面积是
3a2∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是,
43a23a3a?4b2?a2?(a?12b2?3a2)? ∴三棱锥P－ABC的表面积为444(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心， ∴OD?113a3aAD???, 3326在Rt△POD中，PO?PD2?OD2?33b2?a2, 313a23a222?3b?a?3b2?a2. ∴三棱锥P－ABC的体积为?43123【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt△POD，其中含有棱锥的
高PO；如Rt△PBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．
2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据： 边长 对角线长 边心距 面积 外接圆半径 正三角形 正方形 正六边形 a a a 长：2a；短：3a 2a a 2a2 3a 63a 232a 43a 3332a 2a 2a 2例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．
(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．
【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．
证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC， ∴BE⊥AA1．
∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE?平面BEC1， ∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．
(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．
∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， ∴DE∥AB1． 又DE?平面BEC1，AB1?平面BEC1， ∴AB1∥平面BEC1．
例3 在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，
AB?2DC?45．
(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； (Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．
【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．
证明：(Ⅰ)在△ABD中，
由于AD＝4，BD＝8，AB?45，
所以AD＋BD＝AB． 故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD． (Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD． 因此PO为四棱锥P－ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO?在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为
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3?4?23. 24?885，即为梯形ABCD的高， ?545所以四边形ABCD的面积为S?25?45851??24.故VP?ABCD??24?23?163.
523例4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主视图和左视图在下面画
出(单位：cm)
(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；
(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．
【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．
证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：
(Ⅱ)所求多面体体积V?V长方体?V正三棱锥?4?4?6??(?2?2)?2?1312284(cm2). 3