发布时间 : 星期一 文章2020年高考数学(理)二轮专项复习专题07-立体几何更新完毕开始阅读0a09dd785a0216fc700abb68a98271fe910eaf9a
专题07 立体几何
立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系．本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何．在本专题
中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，
我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题．
§7－1 点、直线、平面之间的位置关系
【知识要点】
1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线：
①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面． 平行，记作：a∥b．
异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面：
①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交． 直线在平面内，记作：a???．
直线与平面相交，记作：a∩??＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥??． (3)空间两个平面：
①有公共点：相交，记作：??∩??＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：??∥??． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：
【复习要求】
1．了解四个公理与等角定理；
2．理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 【例题分析】
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点． 求证：(Ⅰ)E、C、D1、F四点共面；(Ⅱ)CE、DA、D1F三线共点．
【分析】对于(Ⅰ)中证明“E、C、D1、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于(Ⅱ)中证明“CE、DA、D1F三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上．
证明：(Ⅰ)连接D1C、A1B、EF． ∵E，F分另是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，EF?1A1B, 2又A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴A1D1CB是平行四边形． ∴A1B∥D1C，EF∥D1C， ∴E、C、D1、F四点共面． (Ⅱ)由(Ⅰ)得EF∥CD1，EF?1CD1, 2∴直线CE与直线D1F必相交，记CE∩ D1F＝P， ∵P∈D1F ?平面A1ADD1，P∈CE?平面ABCD， ∴点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点． ∵平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD， ∴P∈AD，
∴CE、DA、D1F三线共点．
【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据： (1)证明多点共面常用公理2及其推论；
(2)证明多点共线常用公理3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上； (3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内． 2、证明a，b，c三线交于一点的主要依据：
(1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合； (2)先证明a与b相交于点P，再证明P∈c． 例2 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．
证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．
∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，
∴MA∥CD，MA?∵E是PD的中点， ∴NE∥CD，NE?1CD. 21CD. 2∴MA∥NE，且MA＝NE， ∴AENM是平行四边形， ∴MN∥AE．
又AE?平面PAD，MN ?平面PAD， ∴MN∥平面PAD．
方法二取CD中点F，连接MF，NF． ∵MF∥AD，NF∥PD， ∴平面MNF∥平面PAD， ∴MN∥平面PAD．
【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线平行：
a∥c，b∥c， ?a∥b (2)证明线面平行： a∥α，a?β α∩β＝b ?a∥b a∩α＝? α∥β ??∩α＝a，??∩β＝b ?a∥b a∥b b?α，a?α a⊥α，b⊥α ?a∥b α∥β a?β ?a∥α (3)证明面面平行： ?a∥α ?a∥α a∥β，b∥β a⊥α，a⊥β α∥??，β∥?? a，b?α，a∩b＝A ?α∥β ?α∥β ?α∥β ?α∥β 例3 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．
α∩β＝?
【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可． 证明：连接AC1．
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴AA1⊥平面ABC， ∴AB⊥AA1． 又AB⊥AC，
∴AB⊥平面A1ACC1， ∴A1C⊥AB．① 又AA1＝AC，
∴侧面A1ACC1是正方形， ∴A1C⊥AC1．②
由①，②得A1C⊥平面ABC1， ∴A1C⊥BC1．
【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．
例4 在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．
【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化． 证明：
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC， ∴BC⊥平面PAB， ∴AP⊥BC． 又AP⊥PB，
∴AP⊥平面PBC， 又AP?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线垂直：
a⊥c，b∥c， a⊥α