发布时间 : 星期四 文章2020高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题教师用书更新完毕开始阅读088166c1f505cc1755270722192e453610665bdf
2019年
【2019最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线
问题教师用书
1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A. B．2 C. D.答案 D
解析 如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)， ∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
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x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝，选D.
2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A. B. C. D.4 答案 D
解析 由已知得焦点坐标为F(，0)， 因此直线AB的方程为y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，
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故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝. 方法二 联立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋2 ＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝， 因此S△OAB＝|AB|·h＝.
3．(2016·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.答案 D
解析 设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)， 将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝， 则|CD|＝|x1－x2|＝.
又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝， 所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD| ＝(d1＋d2)·|CD|＝··＝ab·. 令t＝，
则t2＝＝1＋2ab·b2＋a2k2
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2 2
2ab1＋k2
b2＋a2k2
k
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＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，
当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝， 所以S四边形ACBD的最大值为ab. 由条件，有ab＝2c2，
即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0， 解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.
4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示． ∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝2， 又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 题型一 求圆锥曲线的标准方程
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( ) A.＋＝1 C.＋＝1 答案 A
解析 由e＝，得＝.① 又△AF1B的周长为4，
B.＋y2＝1 D.＋＝1
2019年
由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，
代入①，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2， 故椭圆C的方程为＋＝1.
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
(2015·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )
的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 C.－y2＝1 答案 D
解析 双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)， 则a2＋b2＝4，①
双曲线的渐近线方程为y＝±x， 由题意得＝，②
联立①②解得b＝，a＝1，
B.－＝1 D．x2－＝1