发布时间 : 星期二 文章2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题七选考内容教学案文更新完毕开始阅读0872bb87fd4ffe4733687e21af45b307e871f9e0
(2)若不等式f(x)≥x－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3，x＜－1，??
解：(1)f(x)＝?2x－1，－1≤x≤2，
??3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x＋x.
3?255?22
而|x＋1|－|x－2|－x＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x＋|x|＝－?|x|－?＋≤，
2?44?352
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x＋x＝.
245??故m的取值范围为?－∞，?.
4??
考点二 不等式的证明
[典例感悟]
2
2
2
?1??1?M为不等式f(x)＜2的解集．
[典例2] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝?x－?＋?x＋?，
?2??2?
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. [解]
??11
(1)f(x)＝?1，－＜x＜，
221?2x，x≥.?2
解得x>－1；
1
－2x，x≤－，
2
1
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，
2
11
当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；
221
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，
2解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1， 从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－ab－1＝(a－ 1)·(1－b)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|.
[方法技巧] 证明不等式的常用方法
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．
(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．
[演练冲关]
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a＋b＝2.证明： (1)(a＋b)(a＋b)≥4； (2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋ab＋b ＝(a＋b)－2ab＋ab(a＋b) ＝4＋ab(a－b)≥4.
(2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋＝2＋
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a＋b4
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(a＋b)
a＋b4
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，
所以(a＋b)≤8，因此a＋b≤2.
考点三 含绝对值不等式的恒成立问题
[典例感悟]
[典例3] (2017·合肥质检)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m>0)． (1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围． －4，x≥1，??
[解] (1)当m＝1时，f(x)＝?－2x－2，－3 ??4，x≤－3. ??－2x－2≥1， 由f(x)≥1，得? ?－3 或x≤－3， 3 解得x≤－， 2 ?3? ∴不等式f(x)≥1的解集为?xx≤－?. 2?? (2)不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|对任意的实数x，t恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)<(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max<(|2＋t|＋|t－1|)min， ∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3， 3?3?∴4m<3，又m>0，∴0 4?4? [方法技巧] 已知不等式恒成立求参数范围问题的解法 分离 参数法 更换 主元法 数形 结合法 [演练冲关] 3．(2017·洛阳统考)已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象； 14 (2)若a＋b＝1，对?a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范围． 运用“f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数取值范围问题 对于一些含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法 在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题 ab?1?－3x，－1≤x≤，2解：(1)由已知，得f(x)＝?1 x－2，x>，??2 函数f(x)的图象如图所示． (2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1， 14?14?∴＋＝?＋?(a＋b) －x＋2，x<－1， ab?ab? ?b4a?＝5＋?＋?≥5＋2?ab? b4a当且仅当＝， abb4a·＝9， ab12 即a＝，b＝时等号成立． 33 14 ∵＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立， ab∴|2x－1|－|x＋1|≤3， 结合图象知－1≤x≤5， ∴x的取值范围是[－1,5]． [课时跟踪检测] 1．(2017·云南调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)． (1)当m＝2时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围． 解：(1)当m＝2时，f(x)＝|x＋1|＋|2－x|， 5 ①当x<－1时，f(x)≥6可化为－x－1＋2－x≥6，解得x≤－； 2②当－1≤x≤2时，f(x)≥6可化为x＋1＋2－x≥6，无实数解； 7 ③当x>2时，f(x)≥6可化为x＋1＋x－2≥6，解得x≥. 257 综上，不等式f(x)≥6的解集为xx≤－或x≥. 22(2)法一：因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|， 由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)． －2x＋m－1，x 法二：①当m<－1时，f(x)＝?－m－1，m≤x≤－1， ??2x＋1－m，x>－1，此时，f(x)min＝－m－1，由题意知，－m－1≥6， 解得m≤－7，所以m的取值范围是m≤－7. ②当m＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|， 此时f(x)min＝0，不满足题意． －2x＋m－1，x<－1，?? ③当m>－1时，f(x)＝?m＋1，－1≤x≤m， ??2x＋1－m，x>m， 此时，f(x)min＝m＋1，由题意知，m＋1≥6，解得m≥5， 所以m的取值范围是m≥5. 综上所述，m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．