发布时间 : 星期一 文章射影几何更新完毕开始阅读086c873b8f9951e79b89680203d8ce2f0066653d
毕业论文 漫谈射影几何的几种子几何及其关系
面上的仿射变换，取定仿射平面上的坐标（x，y），（x1，x2，x3）是对应的齐次坐标. 对于平面上的任意两点P（x1，y1），Q(x2，y2)，定义它们的距离：
d(P,Q)?(x1?x2)2?(y1?y2)2.
这样的距离叫欧氏距离，定义了欧氏距离的平面叫欧氏平面，（x，y）叫点的欧氏坐标或直角坐标，欧氏平面极为E2.
欧氏平面上的两点P，Q决定向量PQ?(x2?x1,y2?y1)，如果向量
u?(u1,u2)，v?(v1,v2)则由欧氏距离自然定义了向量u,v的内积
u?v?u1v1?u2v2
向量u,v的夹角?(u,v)由下式确定
cos?(u,v)?u?vu?v,u?u?u,v?v?v.
?a11 因为可证得任意正交阵A???a21a12??cos?，其可由T???a22??sin??sin???，cos???10??10???10?T?T?T??，，这四个正交阵组合相乘得到，这就是??????0?1??01??0?1?说平面上的正交变换是由
'?s?ysi?nc?os????sin?x?xco?,T??旋转： ?'? ；
sin?c?os??yc?os????y??xsin'??x??x中心对称：?'??y??y'??x?x反射： ?'??y??y,??10?T??? ；
0?1???10?T??? ；
0?1??,'??x?x恒同： ?'??y?y,?10?T???
01??四种基本变换组合而成.
对于平面上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，在正交变换
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?x'?a1x?b1y?c1??y'?a2x?b2y?c2|A|?a1b1a2b2?0
''',y1'),Q'(x2,y2),因为A为正交阵，即A’A=AA’=E，得 下，其像分别为P'(x1'?x2?x2?x1??x1'??A???y'?y'???y?y?? （1）
?21??21?将其转置，得
''(x2?x1',y2?y1')?(x2?x1,y2?y1)A' （2）.
将（2）式的两边分别左乘到（1）式的两边，并注意AA’=E可得，
'''2(x2?x1')2?(y2?y1)?(x2?x1)2?(y2?y1)2
上式说明，两点间的距离在正交变换下保持不变. 即平面上两点间的距离是正交变换的不变量.
有了距离这一基本不变量，加上现有的仿射不变性质，即可推导出正交变换的全部不变性和不变量，如角度，面积，体积，全等形等等欧氏几何的内容. 在正交变换下，任意一个平面图形都变成与它全等的图形，这也就是我们通常说的正交变换保持图形的合同性，这是正交变换的基本不变性. 综上讨论，我们可以得到如下关系：
射影几何 （P，K） ? 射影仿射几何 （P，KA） ? 射影欧氏几何 （P，KM） 仿射几何 （PA，A）
（其中
? 欧氏几何 （PA，A）
?表示绝对子几何关系， ?表示相对子几何关系， = 表示伴随关系. ）
感谢辞
本文从选题到定稿, 历时半年之久. 它的顺利完成, 首先要感谢杨明升老师在整个过程中给我的悉心的指导. 对射影几何的几种子几何及其关系这一重要课题的研究, 加深了我对射影几何学的认识. 同时, 在这一过程中我也对几
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何学产生了浓厚的兴趣. 感谢杨明升老师在论文的写作过程中给我的巨大的鼓励和指导, 使我能按期保质保量的完成论文; 其次要感谢数科院的其他老师的关心和督促, 他们对论文的全程时间安排和及时的提醒使得我的论文能够按时完成; 最后, 感谢我的同学, 尤其是论文组的同学, 他们也给了我很多的鼓励和支持.
参考文献
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ON SEVERAL SUB-GEOMETRY PROJECTRY PYOJECTIE
GEOMETRY AND ITS RELATIONSHIP
Liu Feng
Mathematics and Applied Mathematics 06050210
summary
Science is the study of projective geometry projective nature of
graphics that they remain unchanged after the nature of projective transformation. Projective geometry to focus the performance of a video projection and cut-off ideas, on the same projection, the different cut-off of an object formed by King of the common nature of geometry, as well as the same object in different projective geometry of the common nature, was also known as projection geometry, in the classical geometry, the projective geometry in a special status, which can be linked to some other geometry.
General said that the geometry of projective geometry is the study of an important branch of science, it is a specialized study of the relationship between the location of graphics, is designed to discuss the points are projected onto a straight line or plane, the graphical nature of the science of change . This \has become one of the most beautiful branch of mathematics.
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