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毕业论文 漫谈射影几何的几种子几何及其关系
六．平面上的几种几何学
如果(S,G)为一个几何学，H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. 设Σ?S,Σ≠?. H为G的子群， 且对任意的g∈H, 都有g(Σ)=Σ (例如对任意τ∈KA, τ(P\\l∞)=P\\l∞)；又HΣ为Σ上的一个变换群， 且HΣ≌H(如A为P\\l∞上的变换群, A ≌ KA)，则称(Σ, HΣ)为(S,G)的一个以(S, H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\\Σ为的绝对形(如l∞为绝对形).
子几何学中研究的关于G的子群H的不变性和不变量，这些不变性和不变量有的可能关于群G保持不变，而有的则不能. 反之，由于H是G的子群，所以所有关于G的不变性和不变量必定都辈子几何学（S,H）所继承，继续保持不变. 这就是说，变换群越大，可研究的几何学内容就越少，变换群越大小，几何学的内容就越丰富，换句话说，子几何学的内容要比母几何学的内容丰富. 但是，变换群越大，其讨论的内容在这个几何学系列中就一定越具有纲领性意义. 1. 射影几何学
根据克莱因（F·Klein）的观点，从属于射影平面上摄影群的几何学就是射影平面几何学. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学.
中心射影（又叫透视对应）是射影几何的基本方法，我们从图中看两
个最基本的欧氏空间中线到线，面到面的中心射影.
显然OU与l '不相交，我们称 U为l上的影消点；OV'与l不相交， 我们把V'称为l'上的影消点，影消点的存在，导致两直线间的中心射影
不是一个双射.
由图及上面线到线的中心射影，可以
看出 u??,?U?u,OU//?' 我们称u为由影消点构成的影消线，
/ 同时v'??',?V'?v',OV'/? . 8 . .
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我们称v'为由影消点构成的影消线. 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射.
影消点，影消线存在的根本原因是，在欧氏空间中，相互平行的直线没有交点，使得中心射影成为一一对应的一个自然途径是给平行直线添加交点，既要对欧氏空间进行改造，通过添加一些新的元素对欧氏空间加以拓广.
下面在通常的欧氏空间上引进无穷远点和无穷远直线，约定在每一条直线上添加唯一一点，此点不是该直线上原有的点，称这个点为无穷远点，并规定：
【1】. 在每条欧氏直线上引入唯一一个无穷远点； 【2】. 在平行的欧氏直线上引入相同的无穷远点； 【3】. 在不平行的欧氏直线上引入不同的无穷远点；
【4】. 平面上添加的全体无穷远点的集合为一条直线，称其为无穷 远直线. 1. 拓广直线
与欧氏直线相比，拓广直线的内在性质产生了质的变化. 1. 1. 拓广直线的封闭性
右图示意了圆周与拓广直线之间的一个双射，因此可以将欧氏平面上的圆周取为拓广直线的一种拓广模型. 事实上，有上述双射不难看出，欧氏平面上的任何椭圆进而任何凸闭曲线都可以作为拓广直线的拓扑模型.
从而可以发现拓广直线向两方前进最终都到达同一个无穷远点，这与欧氏直线向两个方向无限伸展有本质区别. 1. 2. 拓广直线的分离
我们知道欧氏直线上一点区分直线为两个部分；两点确定直线上的一条线段. 而拓广直线向两方前进最终都到达同一个无穷远点，所以一点不能区分直线为两个部分，两点也不能确定直
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线上的一条线段. 为此我们引进“分离”的概念，如右图：称点偶A,B分离点偶C,D，点偶A,C不分离点偶B,D. 2. 拓广平面
由于添加了无穷远直线，拓广平面与欧氏平面相比，空间内在性质产生也了质的变化.
2. 1. 拓广平面的封闭性
我们知道任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域（即对于不同的区域的两个点，不可能找到一条连接这两点的连续曲线，使之与边界不相交）；在拓广平面上，任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域（因为如右图，
在拓广平面上任意直线l，有一条曲线过无穷远点的曲线链接了A，B但不
与l相交）.
在欧氏平面上两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域，但在拓广平面上，两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域，可以证明： I，II为同一区域，III，IV为同一区域.
2. 2. 拓广平面的拓扑模型
模型一：叠合对径的球面. 将一个球面放在一张拓广平面上，使得南极与平面相切，以球心O为投射中心，则显然球面上一条直径的对径点（直线的两
个端点）对应于拓广平面上唯一一个点，赤道上的对径点对应于无穷远直线上的点，球面上的大圆对应为拓广平面上的直线. 这种对应是球面上对径点的集合到拓广平面的一个双射. 于是可以把爹和对经点的球面作为拓广平面的一个拓扑模型.
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模型二：叠合赤道上对径点的半球面. 由模型一出发，将含北极的半球面去掉，则出赤道上的对径点对应于无穷远直线上的点而外，版球面的点与拓广平面出无穷远直线外的点一一对应，这是拓广平面的又一拓扑模型.
模型三：叠合周界上对径点的圆盘. 有模型二，我们把半球面看成有橡皮泥膜制成，将之拉伸，压平，则变成一个实心的圆盘，叠合其周界上的对径点，则得到拓广平面的圆盘模型. 图中A，A；B，B分别是对径点，因此是拓广平面上的同一个点. 将其上ABAB的一块剪下，因为他是橡皮膜，又可以将其拉伸使其变成一个矩形，当我们将两端点粘起来后，就得到了著名的M?bius带，这是一个不可定向的曲面，只
有一个面. 因此它是拓广平面上的一块，从而拓广平面是不可定向的. 在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”. 如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点. 通过同一无穷远点的所有直线平行. 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了. 平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了. 这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了.
射影变换有两个重要的性质：首先，添加了无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了. 射影变换有同素性（即使点列变点列，直线变直线，线束变线束）和关联性（点在直线上，直线过某点）这两个基本不变性；其次，最基本的射影变换不变量是交比，交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应. 所有其他摄影不变性和不变量都是由这些基本的不变性和不变量演绎出来的的性质和数量. 而我们以前经常见到的如距离，角度，平行性等，都不是射影几何学的研究内容.
我们简单的研究一下交比的内容，设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且
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