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毕业论文 漫谈射影几何的几种子几何及其关系
谓欧几里得几何》（1873），指出欧氏几何、非欧几何均可用纯射影的办法构造出来. 他还将几种经典几何看作是射影几何的子几何. 例如欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何. 两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何也都是射影几何的子几何，非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进. 这种研究方法在此后几十年里对射影几何学乃至整个几何学都产生巨大影响.
埃尔朗根纲领可以概括如下：
给出集合S和它的一个变换群G，A和B是空间S的两个子集，若存在变换f ∈G,使得f（A）=B，则称A与B等价，记作A≈B. 可以证明“≈”是一种等价关系：
（1）任何子集A总与自己等价，即A≈A；（反身性） （2）若A≈B，则B≈A；（对称性） （3）若
A≈B，且B≈C，则A≈C. （传递性）
由于“≈”是一种等价关系，因此它可以确定集合S的一个分类方法，所有等价的子集都属于同一类，不等价的子集属于不同的类，集合S的每一元素恰属于同一类.
设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间， S的元素称为点， S的子集称为图形， G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S, G).
现在我们规定，集合S叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价的图形属于同一个等价类，于是同一类里的一切图形共有的性质和几何量必是变换群下的不变性质和不变的量；反之，图形在变换群中一切变换下的不变性质和不变量必是同一个等价类里一切图形所共有的性质. 因此，可以用变换群去研究相应的几何学，这就是克莱因的几何学的群论观点.
因此，若给定一个集合以及此集合上的一个变换群，则空间内的图形对于此群的不变性质的命题系统的研究就称为这空间的几何学，而空间的维数就称为几何学的维数，且称此群为该几何学所对应的变换群.
有一个变换群就相应的有一种研究在此群作用下不变性质理论的几何学. 例如，欧氏平面上正交变换构成群，所以正交变换具有下列三个性质：
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（1） 恒等变换是正交变换
（2） 正交变换的逆变换是正交变换. （3） 两个正交变换的乘积仍然是正交变换.
一个图形与经过正交变换所得到的对应图形是合同的. 由此可推出：合同具有反身性，对称性和传递性，因而合同关系是一等价关系，它可将平面上所有的图形分类，凡合同的图形属于同一等价类，欧氏几何是研究等价类里一切图形所共有的性质，图形关于正交变换群下的不变性质所构成的命题系统就是欧氏几何学.
同理，在仿射变换群下图形的不变性质所构成的命题系统就是仿射几何学；射影变换群下的图形不变性质构成的命题系统就是射影几何学.
一百多年来数学的发展说明了克莱因用变换群刻画几何学的观点在近代几何领域起了很大作用，它使各种几何学化为统一的的形式，因而得到对事物的某种统一，同时又明确了各种几何所研究的对象；它给出了一半冲向空间所对应几何学的一种方法，建立了多种几何学，如代数几何，保形几何及拓扑几何学等.
五．平面上的几个变换群
1. 射影变换群
设π, π'为两个点场. 若φ：π→π' 满足 (1) φ为双射,
(2) φ使共线点变为共线点； (3) φ保持共线四点的交比不变；
则称φ为点场π到π'的一个二维射影对应.
显然， 透视对应是特殊的射影对应. 二维射影对应使得点对应于点； 直线对应于直线. 因此， 也称此处的二维射影对应为直射.
对于二维射影对应φ：π→π', 若π=π', 则称φ为二维射影变换. 平面上全体射影变换的集合K对于变换的乘法构成变换群，称变换群K为射影变换群.
设在点场π, π'上各取定齐次射影坐标系. 称由
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??x1'?a11x1?a12x2?a13x3?'??x2?a21x1?a22x2?a23x3??x'?ax?ax?ax311322333?3|A|?|aij|?0,??0
所决定的对应为π到π'的一个二维射影对应， 其中(x1, x2, x3)与(x'1, x'2, x'3)为对应点的齐次坐标，A称为射影对应的矩阵. 射影变换是特殊的射影对应，此时(x1, x2, x3)与(x'1, x'2, x'3)为相对于π上的同一个射影坐标系而言. 显然,，上式为非奇异线性对应. 由于p的存在(齐次性)， 对任意的p≠0,，pA与A表示同一射影对应的矩阵. 因此A中9个元素只有8个独立， 故A是8参数的，所以K是一个8维群. 2. 仿射变换群
在射影平面上，保持一条指定直线不变的直射变换称为仿射变换，这条指定的直线称为仿射变换的绝对形.
射影平面上的全体仿射变换的集合KA对于变换的乘法构成一个变换群，他是射影群的子群，称为射影仿射变换群；仿射平面上全体仿射变换的集合A构成变换群，称变换群A为仿射变换群.
显然，射影仿射变换群KA与仿射变换群A之间有一个自然的同构映射. 在射影变换 ?x?'i?aj?13ijxji?1,2,3,|aij|?0,??0
中，保持l∞：x3=0不变?a31=a32=0
'??x1?a11x1?a12x2?a13x3?'??x2?a21x1?a22x2?a23x3?'a33x3??x3?a33A33?0,??0
将上式化为非齐次(前二式分别除以第三式). 得
?x'?a1x?b1y?c1??y'?a2x?b2y?c2是6参数的，所以A是一个6维群.
|A|?a1b1a2b2?0
显然仿射变换群是射影变换群的子群，A中9个元素只有6个独立， 故A
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3. 正交变换群 在仿射变换
?x'?a1x?b1y?c1??y'?a2x?b2y?c2|A|?0
中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA'=E，则称为正交变换,，上式的齐次坐标表达式称为射影正交变换. 正交变换的形式与解几中的直角坐标变换完全相同. 因此，它也体现为平移、旋转、轴反射及其合成. 也可化为三角函数表达式
?x'?xcos???ysin??a??y'?xsin???ycos??b其中a，b，θ为参数.
????1?
类似于仿射变换群的讨论，我们可以得到关于正交变换群的下列两个结论.
1. 射影仿射平面上的全体射影正交变换KM构成变换群，成为射影正交变换群；仿射平面上全体正交变换的集合M构成的变换群，称M为正交变换群.
2. 射影正交变换群KM为射影仿射变换群KA的子群，而且KM≌M. 综上，我们在射影平面和仿射平面上个得到了一个变换群系列，则上述两个系列的变换群有如下的关系
射影平面仿射平面K={平面上全体射影变换} 射影变换群K KA={平面上全体射影仿射变换} 射影仿射变换群KA KM={平面上全体射影正交变换} 射影正交变换群KM A={平面上全体仿射变换} 仿射变换群A M={平面上全体正交变换} 正交变换群M
?KM K?KA
? ?
A?M
综上所述，就变换群的大小而言，正交群?仿射群?射影群.
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