发布时间 : 星期一 文章3拉格朗日方程及振动更新完毕开始阅读07a33922a5e9856a561260a4
如图所示的机构，滑轮B和轮C半径相同且r?5cm，质量相等且
mB?mC?4kg。轮心C处联结一弹簧，并与斜面平行??300。绳子A端挂一重物，质量为5kg。弹簧静变形?st?10cm，轮C作纯滚动时，求系统在平衡位置附近作微幅振动的频率。
解：先求弹簧系数，静平衡时， 一、取C轮为研究对象（如图）； 二、受力分析（如图）。作用在轮上的力
C ??300 A??T?mAg
r ?k?st ??有绳子拉力T?mAg，轮自重mCg，弹簧拉力
??k?st，以及法向反力N和摩擦力F。
C D ?N ?F
三、列平衡方程。对C轮与斜面的接触点D取矩方程，即
?MDsi?n??kst)?r 0?0： mAgr?(mCg可解得： k?mAgr?mCgsin??st?294.3N(m )用能量法求系统的固有频率。 一、取系统为研究对象（如图）；
二、运动分析C轮作纯滚动，B轮作定轴转动；重物A作直线平动；建立坐标。系统作微振动时，取重物A位移x（如图）为系统的自由度坐标。
三、受力分析（如图）
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四、写出系统的动能。由运动分析以及刚体不同运动形式动能的定义式，可得系统的动能为
1111222??JC?C?JB?B?mAx?2 T?mCx2222再由各物体的运动关系对系统动能的表达式将其变量归一化。即因
??x?r；?x?CB?r。
以及轮的转动惯量为：J1212C?2mCr；JB?2mBr
则系统的动能可表示为：
T?111x?211x?212mCx?2?22mCr2r2?22mBr2r2?2mAx?2 ?12(32m1C?2mB?mA)x?2 写出系统的势能。
由于我们将坐标的原点取在静平衡位置，故重力势能没有，系统只
有弹性势能。 V?122kx
显然最大动能以及最大势能为：
T?131max2(2mC?2mB?mA)x?212max；Vmax?2kxmax 由计算系统故有频率的能量法，得到系统的故有频率为：
?x?max131n?x?(mC?mB?mA)?4.76rads
maxk22
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电动机重2500N(，)由四个刚性系数
k?300Ncm的弹簧支持。在电动机转子上装
有2(N)的物体，偏转轴中心距离为e?1(cm)。已知电动机被限制在铅垂方向运动，求：
（1）发生共振时的转速；
（2）当转速为1000rmin时，稳定振动的振幅。
解：（1）系统为单自由度系统。支持弹簧时四
k e k 个并联形式，其等效弹簧刚性系数为：ke?4k?1200Ncm。系统的整
2500?2体质量为：M??250.2(kg)。则系统的固有频率为：
gke120000?n??g?21.68(rads)
M2502故发生共振的转速为：?g?21.68(rads)；（下面注意单位换算）
（2）当转速为1000rmin时，??2n?100(rads)。系统所受的10激励力为：F?me?sin?t，最大激励力为：(m为偏心物体的质
Hm2?e? 量)H?me?；系统单位质量最大激励力为：h?MM2me?2无阻尼强迫振动振幅为：B???0.00084(cm) 22?2M???n1?()2h?n?n 42
C1 A A 400 第 题图 F2 ??300 第 题图 F 200 P M a ?v0 4m ?OA M 600 r 3m l O1 ? k E O1 ?vA y ?? mCg ? ? ?v ?O x h 2R P ?? ? a C b E ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 O D l O1 1 ?v0 ?xA r3 a ?1 x E B M ?O A C O R y R B ?v ?vr s C x ?st O A A ?mAg 43 XA
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