发布时间 : 星期三 文章高考数学第一轮复习空间向量及其运算(b)更新完毕开始阅读075f5067ff4733687e21af45b307e87101f6f838
9.6 空间向量及其运算（B）
●知识梳理
空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则. a·b=|a||b|cos〈a，b〉. a2=|a|2.
a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=xa+yb. a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=xa+yb+zc. ●点击双基
1.在以下四个式子中正确的有 a+b·c，a·（b·c），a（b·c），|a·b|=|a||b| A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a（b·c）正确.
答案：A
2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是 A.{a+b，b－a，a} B.{a+b，b－a，b} C.{a+b，b－a，c} D.{a+b+c，a+b，c}
解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.
答案：C
3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量AB?、AD?、BD是 A.有相同起点的向量 C.共面向量
B.等长的向量 D.不共面向量
解析：∵AD?－AB?=B?D?=BD， ∴AB?、AD?、BD共面.
答案：C
4.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________. 答案：45°
5.已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________.
解析：∵EF=EA+AB+BF， 又EF=EC+CD+DF，
两式相加，得2EF=（EA+EC）+（AB+CD）+（BF+DF）.
∵E是AC的中点，
故EA+EC=0.同理，BF+DF=0.
∴2EF= AB+CD=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴EF=3a+3b－5c. 答案：3a+3b－5c ●典例剖析
【例1】 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC +zOD.
剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理.
解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面?对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得OA=OB+x1BC +y1BD=OB+x1（OC－
OB）+y1（OD－OB）=（1－x1－y1）OB+x1OC+y1OD，取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1，
则有OA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=1.
特别提示
向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.
【例2】 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.
解：如下图，因为∠ACD=90°，
DADACBCB(1)(2)
所以AC·CD =0.同理，BA·AC=0. 因为AB与CD成60°角，
所以〈BA，CD〉=60°或120°.因为BD=BA＋AC＋CD，
所以BD2=BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD=BA2＋AC2＋
CD2＋2BA·CD=3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉=
4 （〈BA，CD〉=60°）， 2 （〈BA，CD〉=120°）.
所以｜BD｜=2或2，
即B、D间的距离为2或2.
【例3】 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，
D1A1B1C1DAME CB
求证：（1）BD1⊥平面ACB1； （2）BE=
1ED1. 2证明：（1）我们先证明BD1⊥AC.
∵BD1 = BC+ CD+DD1，AC = AB+BC，
∴BD1·AC=（BC +CD +DD1）·（AB+BC）=BC·BC+ CD·AB=BC·BC－AB·AB=|BC|2－|AB|2=1－1=0.
∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB1. （2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则BM=
11BD= B1D1，即222BM=B1D1.对于空间任意一点O，设OB=b，OM =m，OB1=b1，OD1=d1，则上述等式
b1?2md1?2b==e.此即表明，由e向量所
1?21?2对应的点E分线段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，所以点E既在线段B1M（B1M?面ACB1）
可改写成2（m－b）=d1－b1或b1+2m=d1+2b.记
上又在线段D1B上，所以点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，即D1E∶EB=2∶1.∴BE=
1ED1. 2思考讨论
利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.
●闯关训练 夯实基础
1.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A1B1 =a，A1D1 =b，A1A =
c，则下列式子中与B1M相等的是
ABA1B1C1MCD1D
11a+ b+c 2211 D.－ a－ b+c
22111解析：B1M=B1B + BM=B1B+ （BA+BC）=A1A－ A1B1+ A1D1=c－
22211a+ b，故选A. 22A.－
B.
答案：A
2.O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则 A.O、A、B、C四点不共线
C.O、A、B、C四点中任意三点不共线
B.O、A、B、C四点共面，但不共线 D.O、A、B、C四点不共面
11a+ b+c 2211C. a－ b+c
22解析：由基底意义，OA、OB、OC三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使OA、OB、OC共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.
答案：D
3.已知a+3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉=_____________. 解析：由条件知（a+3b）·（7a－5b）=7|a|2－15|b|2+16a·b=0，及（a－4b）·（7a－2b）=
7|a|2+8|b|2－30a·b=0.两式相减得46a·b=23|b|2，∴a·b=
12
|b|.代入上面两个式子中的任意212|b|a?b21一个，即可得到|a|=|b|.∴cos〈a，b〉===.
|a||b||b|22∴〈a，b〉=60°.
答案：60°
4.试用向量证明三垂线定理及其逆定理.
已知：如下图，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，a求证：a⊥PA?a⊥OA.
Pα，
aO?A 证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PA?a⊥OA，即证a·AP =0?a·AO =0. ∵a
α，a·OP =0，∴a·AP=a·（AO+OP）=a·AO+a·OP=a·AO.
∴a·AP=0?a·AO=0，即a⊥PA?a⊥OA.
评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过
加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积.