发布时间 : 星期五 文章2010年全国高考理科数学试题及答案-上海更新完毕开始阅读074daf136aec0975f46527d3240c844769eaa0c4
20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* （1）证明：?an?1?是等比数列；
（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。 （2）Sn=n?75()n?1?90 n=15取得最小值
5解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)，
656又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列； ?5?(2) 由(1)知：an?1??15????6??5?Sn?75????6?n?1n?1?5?，得an?1?15????6?n?1，从而
?n?90(n?N*)；
n?1?5?解不等式Sn （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l?1.2?2r(0 S??3?(r?0.4)2?0.48?， 所以当r?0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r?0.3时，l?0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3?(?0.3,0.3,0.6)，A3B5?(?0.3,?0.3,0.6)， 设向量A1B3与A3B5的夹角为?，则cos??A1B3?A3B5|A1B3|?|A3B5|?2， 32所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为arccos． 322.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。 若实数x、y、m满足x?m＞y?m，则称x比y远离m. （1）若x2?1比1远离0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3?b3比a2b?ab2远离2abab； （3）已知函数f(x)的定义域D=｛x|x≠kππ.任取x?D，f(x)等+，k∈Z，x∈R ｝24于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 解析：(1) x?(??,?2)(2.??)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a3?b3?2abab，a2b?ab2?2abab， 因为|a3?b3?2abab|?|a2b?ab2?2abab|?(a?b)(a?b)2?0， 所以|a3?b3?2abab|?|a2b?ab2?2abab|，即a3?b3比a2b?ab2远离2abab； ?3??sinx,x?(k??,k??)??44(3) f(x)??， ???cosx,x?(k??,k??)??44性质：1?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2?f(x)是周期函数，最小正周期T?3?函数f(x)在区间(?2， k??k?k?k???,]单调递增，在区间[,?)单调递减，k?Z， 2422242,1]． 223（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 4?函数f(x)的值域为(x2y2已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，点P的坐标为（-a，b）. ab?1?（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足PM=(PA+PB),求点M的坐标； 2?（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若 b2k1?k2??2，证明：E为CD的中点； a（3）对于椭圆?上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆?上存在不同的两个交点P1、P2满足PP1+PP2=PQ,写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围. ab解析：(1) M(,?)； 22????y?k1x?p?(2) 由方程组?x2y2，消y得方程(a2k12?b2)x2?2a2k1px?a2(p2?b2)?0， ?2?2?1b?a因为直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点， 所以?>0，即a2k12?b2?p2?0， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， ?x1?x2a2k1p??22?x0?2ak1?b2?则?， 2?y?kx?p?bp10?0a2k12?b2??y?k1x?p由方程组?，消y得方程(k2?k1)x?p， y?kx?2?a2k1pp??22?x0?x?22k?kak?bb?211又因为k2??2，所以?， 2ak1?y?kx?bp?y20?a2k12?b2?故E为CD的中点； (3) 求作点P1、P2的步骤：1?求出PQ的中点E(?2?求出直线OE的斜率k2??b(1?sin?)， a(1?cos?)a(1?cos?)b(1?sin?),)， 22b2b(1?cos?)?PP?PQ3?由PP知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率， k???121a2k2a(1?sin?)4?从而得直线CD的方程：y?b(1?sin?)b(1?cos?)a(1?cos?)?(x?)， 2a(1?sin?)25?将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标． 欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内， (1?cos?)2(1?sin?)2?21所以， ??1，化简得sin??cos??，sin(??)?44442??2??3?又0 444444故? 的取值范围是(0, ?4?arcsin2)． 4