发布时间 : 星期一 文章中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题（九）与圆有关的计算与证明练习更新完毕开始阅读07063de4b80d6c85ec3a87c24028915f804d84bc
滚动小专题(九) 与圆有关的计算与证明
类型1 与切线有关的计算与证明
1．如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC＝BC，连接BC.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
3
(2)⊙O的半径为5，tanA＝，求FD的长．
4
解：(1)证明：∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE. ∴∠ODB＋∠DFG＝90°. ∵FC＝BC，∴∠CBF＝∠CFB. ∵∠CFB＝∠DFG， ∴∠CBF＝∠DFG.
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD.
∴∠OBD＋∠CBF＝∠ODB＋∠DFG＝90°， 即∠ABC＝90°.
又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线． (2)连接AD.
OG3
∵tan∠OAG＝＝，
AG4∴设OG＝3x，则AG＝4x.
∴OA＝OG＋AG＝5x＝5，解得x＝1. ∴OG＝3，AG＝4. ∴DG＝OD－OG＝2.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°.
∵∠DAG＋∠ADG＝90°，∠ADG＋∠FDG＝90°， ∴∠DAG＝∠FDG. 又∵∠AGD＝∠DGF， ∴△DAG∽△FDG. ∴
DGFG2FG
＝，即＝.∴FG＝1. AGDG42
2
2
2
2
∴在Rt△DFG中，FD＝DG＋FG＝5.
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，过点C作CE⊥AD，垂足为E，且∠EDC＝∠BDC.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE＋CE＝4，AB＝6，求BD的值．
解：(1)证明：∵∠BAD＝90°， ∴∠BCD＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠E＝90°. ∵∠EDC＋∠DCE＝90°， ∠EDC＝∠BDC，
∴∠BDC＋∠DCE＝90°. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠OCD＋∠DCE＝90°，即OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． (2)过点O作OF⊥AE，垂足为F，则AF＝DF， 11
∴OF＝AB＝×6＝3.
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易证得四边形OFEC为矩形，∴CE＝OF.
∵DE＋CE＝4，∴DE＝1.
在Rt△DCE中，CD＝1＋3＝10. ∵∠EDC＝∠BDC，∴Rt△BDC∽Rt△CDE. ∴
BDCDBD10＝，即＝. CDDE110
22∴BD＝10.
类型2 与弧长及面积有关的计算
3．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D，F两点，且CD＝3，以O为圆心，OC为︵
半径作CE，交OB于E点．
(1)求⊙O的半径OA的长； (2)计算阴影部分的面积．
解：(1)连接OD.
∵FD∥OB，OA⊥OB，∴OA⊥FD. ∵C为OA的中点，
11∴OC＝OA＝OD.
22
∴在Rt△OCD中，∠ODC＝30°.
∴OC＝CD·tan30°＝1.
∴OD＝2OC＝2，即⊙O的半径OA的长为2. (2)S阴影＝S扇形BOD＋S△OCD－S扇形COE 30×π×2190×π×1＝＋×1×3－ 3602360＝
π3＋. 122
2
2
4．如图，风车的支杆OE垂直于桌面MN，风车中心O到桌面的距离OE为25 cm，小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A，B，C，D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10 cm.
(1)风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)；
(2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20 cm所经过的路径长(结果保留π)．
备用图1 备用图2 解：(1)如图1，当点A运动到点A1的位置时，∠AOE＝45°. 作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G， ∴A1F＝GE.
在Rt△A1OG中，∵∠A1OG＝45°，OA1＝10， ∴OG＝OA1·cos45°＝10×
2
＝52. 2
∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－52. ∴A1F＝GE＝25－52.
答：点A到桌面的距离是(25－52)cm.
(2)如图2，点A在旋转过程中运动到点A2，A3的位置时，点A到桌面的距离等于20 cm. 作A2H⊥MN于点H，则A2H＝20. 作A2D⊥OE于点D，∴DE＝A2H.
∵OE＝25，∴OD＝OE－DE＝25－20＝5. 在Rt△A2OD中，∵OA2＝10， ∴cos∠A2OD＝
OD1＝. OA22
∴∠A2OD＝60°.
由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°. 120×π×1020
∴点A所经过的路径长为＝π.
180320
答：点A所经过的路径长为π cm.
3
图1 图2
5．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半圆P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半圆P与数轴相切于点A.
解答下列问题：
(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半圆P与数轴的位置关系是相切； (2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
(3)纸片半圆P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； (4)求OA的长．
[(2)(3)(4)中的结果保留π]
︵
解：(2)位置Ⅰ中ON的长与数轴上线段ON相等， ︵90×π×2∵ON的长为＝π，NP＝2，
180
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π＋2. 90×π×4
(3)点N所经过路径长为＝2π，
180180×π×290×π×4S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π.
360360
∴半圆P所扫过图形的面积为2π＋4π＝6π.
(4)作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形． 在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC－HC＝NC－PA＝1. NH1
∵sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°.
PN2∴∠MPA＝60°. ︵60×π×22∴MA的长为＝π.
180325
∴OA＝π＋4＋π＝π＋4.
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2
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