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ρνA1=ρνA2 1 1 2 2 （4-1-1）
由此可推广连续性方程的物理意义，流体流经管道横截面的流体质量是不变的。上式可改为一般形式：
ρνA =常数 （4-1-2）
液体及低速流动的气体，可看作不可压缩流体，则ρ1 =ρ2 = 常数，连续性方程为
νA= C （4-1-3） 2． 理想不可压缩流体的能量方程
假设流体在如图 4-2 管道中流动。取两截面Ⅰ—Ⅰ、Ⅱ—Ⅱ，两截面处的面积、流体平均流速、压力及两截面相对于某一基准面的几何高度分别A1、ν1 、p1、z 1；A2、ν2 、p2、z 2。设截面Ⅰ—Ⅱ间的流体经过时间△t流到截面Ⅱ—Ⅱ，由于观察时间较短，可认为是定常流动。
根据动能定理，外力在△t时间内作功之和等于此段时间内能量的变化量。外力在△t时间内对Ⅰ—Ⅰ和Ⅱ—Ⅱ流体所作的功有压力作功：
p1 ν1 A1△t -p2 ν2 A2△t （4-1-4） 在△t时间内，动能的变化量为
1/2ρν1 A1△t (ν1 2 –ν2 2) （4-1-5） 在△t时间内，位能的变化量为
ρg ν1 A1△t (z 1-z 2) （4-1-6） 由动能定理可知，下列关系式成立：
p1 ν1 A1△t-p2 ν2 A2△t = 1/2ρν1 A1△t（ν12-ν22）
+ρg ν1 A1△t (z 1-z 2) （4-1-7） 由连续性方程可知： νA1= νA2 1 2 （4-1-8）
则上式整理可得：
z 1+ p1 /ρg+ ν1 2/ 2g= z 2+ p2 /ρg+ ν22/ 2g （4-1-9） 此式即为理想不可压缩流体的能量方程。因为该方程为瑞士科学家伯努力首先建立，故又称伯努力方程。
伯努力方程各项所表示的意义为：z表示单位重量流体所具有的位能，又称位置水头；p/ρg表示单位重量流体所具有的压力能，又称压力水头；z + p/ρg表示单位重量流体所具有的势能，又称静水头或测压管水头；1/2ρν2表示单位重量流体所具有的动能。又称速度头。三项之和又称总水头。理想不可压缩流体的伯努力方程的意义是总水头为一常量。
上面推导出的伯努力方程是在理想流体假设条件下得到的。而实际流体都具有粘性，在流体运动过程中呈现内摩擦阻力影响流体自由流动，故流体在流动过程中要克服阻力作功而消耗一部分机械能。这部分机械消耗能量转化为另一种形式——热，它表现为流体温度升高。所以，实际流体的伯努力方程式还要加上一项能量损失项：hw
z 1+ ν1 2/ 2g+p1 /ρg = z 2 + ν22/ 2g+ p2 /ρg+ hw （4-1-10）
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式中，hw为总流的平均单位重量流体的能量损失。
第二节 标准孔板流量计
1、测量原理和基本方程式
标准孔板流量计的测量原理如图 4-3 所示。当充满圆管的单相流体流经在管道内部安装的节流装置时，流速在节流件处形成局部收缩，使流速增大，静压力降低，于是在节流件前后产生压力差。该压力差通过差压仪表检出。流体的体积流量或质量流量与差压仪表所测得的差压值有确定的数值关系，这关系式即为孔板流量计的流量测量基本方程式：
体积流量： qv= π/4CEεd2√2△p/ ρ1 （4-2-1） 质量流量: qm =π/4CEεd2√2ρ1△p （4-2-2） 式中: C ——流出系数；
ε—— 流束膨胀系数，对于不可压缩流体，ε=1；可压缩流体，ε＜1; E—— 渐近速度系数，E=1/ √1-β4； d—— 孔板工作状态下开孔直径；
ρ1—— 孔板上游侧工作状态下的流体密度。
Δp—— 节流件上、下游侧压力之差，（△p=p1-p2）。 2、基本方程式的推导
孔板流量计的流量测量基本方程式可通过 流体力学中的伯努力方程和连续性方程导出。 但必须说明，要完全从理论上计算出差压和流 量的关系目前是不可能的。因为关系式中的各 系数只能靠实验确定。
为了推导的方便，在图4-3 所示的管路上 取三个截面。截面Ⅰ—Ⅰ是流束收缩前的截面； 截面Ⅱ—Ⅱ是流束收缩至最小处的截面；截面 Ⅲ—Ⅲ是流束充分恢复后的截面。
首先分析流体流经节流装置的流动情况。
图 4-3是流动情况示意图。由图可以看出：截 面Ⅰ—Ⅰ处流体未受节流件影响，流束充满管
道，流束直径为管道内径Dm，流体压力为p 1， 4-3孔板流量计原理图 平均流速为ν1，流体密度为ρ1。流束在节流件 1-取压孔；2-差压计；3-孔板 件前大约等于管道内径Dm处开始收缩，即位于
边缘处的流体开始向中心加速，流束中央的压力开始下降。流束通过节流件时，由于流体本身的惯性力及节流件后面角落里旋涡的离心力作用，继续收缩，大约在孔板后Dm/2的截面Ⅱ—Ⅱ处，流束截面收缩到最小程度。此处流束截面上各点的流动方向又完全与管道中心线平行，此时流速最大，压力最低。此处流束中心压力为p 2；平均流速为ν2；流体密度为ρ2；流束直径为d＇。在截面Ⅱ—Ⅱ之后，流束开始扩散，流速降低，压力逐渐增加。直到又恢复到接近原来充满管道内壁的压力情况，但此时压力值不可能恢复到流束收缩前的最大压力值p1，而有一个压力降落，这压力降落就是流体流经节流件后的压力损失Δp。引起这个
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压力损失的原因主要是流体在流经孔板时的突然收缩与扩张，孔板前后存在涡流死区，导致流体能量损失所致。
假定我们所研究的流体是不可压缩流体，流速均匀，且是理想流体，并假定管道为水平放置。对截面Ⅰ—Ⅰ和Ⅱ—Ⅱ建立伯努力方程和连续性方程如下：
p 1/ρ1+ ν1 2/2 = p 2/ρ2+ ν22/ 2 （4-2-3） ν=ν1A1 2A2 （4-2-4）
式中, A1 =π/4 Dm2, A2为流束最小截面处的面积。A2可以用孔板开孔截面A0表示：
A2= μA0 （4-2-5） 式中, μ称为流束收缩系数,其大小与节流件型式有关。由（4-2-4）、（4-2-5）可得
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ννμA0/ A1 = μβ ν1= 22 （4-2-6）
式中, β2 = A0/ A1 =d2/ Dm2, 称为孔板开孔直径与管道直径的直径比。
将式（4-2-6）代入（4-2-3），整理可得到截面Ⅱ—Ⅱ处的平均流速V2： ν2 = 1 / √1-μ2β4. √2/ρ1(p 1- p 2 ) （4-2-7）
根据体积流量的定义,我们可以得到截面Ⅱ—Ⅱ处体积流量与差压间的理论公式:
q v= ν2A2= μ/√1-μ2β4. A0 . √2/ρ1(p 1- p 2 ) （4-2-8） 公式（4-2-8）是以理想流体的节流过程中不产生压力损失，且截面上流体流速均匀为前提而推导出来的。实际被测流体都具有粘性，流经节流件必然要产生压力损失，流体流速也并非均匀。另外，在实际测量时所取压力值根据取压方式不同为前后端面一定位置处的值，(p 1- p 2 )也并非正好为Ⅰ、Ⅱ处的p 1、p 2 。这样，理论假定与实际测量值有差异，必须引入一修正系数δ.才能得到实际流量测量基本方程式。这样，式（4-2-8）可改写为：
q v=μδ/ √1-μ2β4. A0 . √2/ρ1(p 1- p 2 ) （4-2-9） 由于上式流束收缩系数μ和修正系数δ不能够单独地测量确定，所以，将这两个系数合并为一个修正系数C，称为流出系数。它通常用实验确定。并令E= 1/√1-β4 ，E称为渐近速度系数。
这样，（4-2-9）又可改写为：
q v= CE A0 . √2/ρ1(p 1- p 2 )= CEπ/4 d2√2/ρ1△p （4-2-10） q m= CE A0 . √2ρ1(p 1- p 2 )= CEπ/4 d2√2ρ1△p （4-2-11） 可压缩流体:
q v= CEεπ/4 d2√2/ρ1 .△p （4-2-12） q m= CEεπ/4 d2√2ρ1△P （4-2-13） 从(4-2-12)、(4-2-13)可以看出：如果差压△P降低到原差压值的九分之一，则流量将减小到原流量的三分之一。这样，对于一个差压上限固定的差压变送器来说，其测量准确度就会降低。因为，对于差压式仪表的准确度等级是用引用误差来表示的，比方差压变送器上限2000Pa， 准确度等级为0.5级，允许误差10 Pa。若差压降低了九分之一，为222 Pa，则该点的相对误差为10/ 222 = 4.5%。这就是孔板流量计一般量程比为3：1的基本原因。
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3、对理论公式的各种修正
只有当推导公式所用的全部假设都成立时，用流量的理论公式算出的流量才是实际流量，上述这种情况很少有，因此，实际流量总是小于理论计算值。实际流量值与理论计算值之间接近的程度几乎完全取决于一次元件收缩的几何形状。对于截面逐渐收缩的文丘利管或喷嘴，其一致程度高达97%至99%，对于入口为直角锐缘的孔板，突然缩小的流通截面使流束直径无法测量。理论公式则引用孔径作为相关直径。再有，在孔板下游由于紊流增大所造成的能量损失是未曾由伯努力方程或稳流的热力学能量方程来计算的，由于以上两个因素，使得孔板的实际流量约为理论计算的60%。两个取压口的位置也是重要的。因为它会影响被测的差压值。
对于内部轮廓为曲面的收缩和突然的收缩，只有在很高的雷诺数下，关于速度分布是均匀一致的假定才成立。随着流速减小或粘度增大，雷诺数将减小，速度分布会变得更加陡化，造成进一步偏离关于线性或一维的速度分布的假定。对于内部轮廓是曲面的各种一次元件，流体的膨胀是接近于绝热的假设的，而对于孔板则不接近于上述假设，穿过孔板时，流线有突然的变化，在这里轴向和径向的膨胀都会发生。
针对上述影响，可用两个实验测定的修正系数对理论公式进行修正。第一个是流出系数C，它针对速度分布（雷诺数）、取压口位置以及收缩的几何形状进行修正。第二个是孔板流量计经实验得出的气体膨胀系数ε
(1) . 流出系数
对于一个给定的一次元件，根据实验数据，通过求实际流量与理论流量的比值就可以得出流出系数。测量在一定的测量时间间隔内流过流体的质量或体积就可以确定实际流量。
C = 实际流量/理论流量 对于不可压缩流体：
42 C ? 4 q m 1 ? ? /( ? d 2 ? p ? ) （4-3-1）
流出系数针对速度分布（雷诺数）的影响、在取压口之间无能量损失的假设以及取压口的位置，对理论公式进行修正。
C = f (ReD、测压位置、D、β)
在一定的安装条件下，对于给定的节流装置，该值仅与雷诺数有关，对于不同的节流装置，只要这些装置是几何相似，并且在相同的雷诺数条件下，则C的数值是相同的。
流出系数的得出，可以在实验室里，由实际流量，实流检定得出，这一般在非标准的节流件，或要求准确度较高的情况下实流标定。
对于所有标准化的一次元件，都是利用大量测试点的数据推导出一个经验公式。根据孔径以及管内径的测量值，可利用这些经验公式预估这种标准一次元件的流出系数，这些经验公式一般都能达到一定的准确度要求，因此很少再进行实流标定。然而，若雷诺数、管道直径等已超出了公式所规定的范围，就不能用经验公式了。
（2）流出系数的经验公式
对于流量测量中应用最广泛的流量仪表——孔板流量计，在历史上一直存在两个平行的标准，即