发布时间 : 星期五 文章(全国通用版)2019高考数学二轮复习 中档大题规范练(四)立体几何与空间向量 理更新完毕开始阅读06857a5f9fc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d64b
花落知多少(四)立体几何与空间向量
1．(2018·四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝5.
(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；
→→
(2)设M为线段EC上一点，3EM＝EC，求二面角M－BD－E的平面角的余弦值． (1)证明 由AD＝1，CD＝2，AC＝5， 得AD＋CD＝AC，
∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC， 同理△EDC为直角三角形，且ED⊥DC. 又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE. 又AB∥DC，∴DA⊥AB.
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2
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在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H， 故四边形ABHD是正方形． 在△BCH中，BH＝CH＝1，
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花落知多少∴∠BCH＝45°，BC＝2，
∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∴BC⊥BD.
∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD， ∴ED⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，∴ED⊥BC， 又BD∩ED＝D，BD，ED?平面EBD， ∴BC⊥平面EBD，
又BC?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD.
(2)解 由(1)可得DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则D(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0)． 令M(0，y0，z0)，
→→
则EM＝(0，y0，z0－1)，EC＝(0,2，－1)， →→∵3EM＝EC，
∴(0,3y0,3z0－3)＝(0,2，－1)，
?22?∴点M的坐标为?0，，?. ?33?
∵BC⊥平面EBD，
→
∴BC＝(－1,1,0)是平面EBD的一个法向量． 设平面MBD的法向量为m＝(x，y，z)． →
→?22?DB＝(1,1,0)，DM＝?0，，?，
?33?
→??m·DB＝0，
则?
→??m·DM＝0，
x＋y＝0，??
即?22
y＋z＝0，??33
可得x＝－y＝z.
令y＝－1，得m＝(1，－1,1)．
2
花落知多少→m·BC－26→
∴cos〈m，BC〉＝＝＝－.
→33×2|m||BC|由图形知二面角M－BD－E为锐角， ∴二面角M－BD－E的平面角的余弦值为6
. 3
2．(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方形的四棱锥P－OABC，且PO⊥底面
OABC，过OA的平面与侧面PBC的交线为DE，且满足S△PDE∶S△PBC＝1∶4.
(1)证明：PA∥平面OBD；
(2)当S2
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四边形OABC＝3S△POB时，求二面角B－OE－C的余弦值． (1)证明 由题意知四边形OABC为正方形，
∴OA∥BC，又BC?平面PBC，OA?平面PBC， ∴OA∥平面PBC，
又OA?平面OAED，平面OAED∩平面PBC＝DE， ∴DE∥OA，又OA∥BC， ∴DE∥BC.
由△PDE∽△PCB，且S△PDE∶S△PBC＝1∶4， 知E，D分别为PB，PC的中点．
连接AC交OB于点F，则点F为AC的中点，连接DF. ∵DF∥PA，DF?平面OBD，PA?平面OBD， ∴PA∥平面OBD.
(2)解 ∵底面OABC为正方形，
且PO⊥底面OABC，
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花落知多少∴PO，OA，OC两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz， 设OA＝OC＝2a，OP＝2b，
则O(0,0,0)，C(0,2a,0)，B(2a,2a,0)，F(a，a,0)，
P(0,0,2b)，E(a，a，b)．
∵PO⊥平面OABC，CF?平面OABC，∴CF⊥PO. ∵四边形OABC为正方形， ∴CF⊥OB，
又PO∩OB＝O，PO，OB?平面POB， ∴CF⊥平面POB，即CF⊥平面OBE，
→
∴平面OBE的一个法向量为CF＝(a，－a,0)． 设平面OEC的一个法向量为m＝(x，y，z)， →→
而OC＝(0,2a,0)，OE＝(a，a，b)． →??m·OC＝0，
由?
→??m·OE＝0，
??0·x＋2a·y＋0·z＝0，
得?
?ax＋ay＋bz＝0，?
取z＝－a可得，
m＝(b,0，－a)为平面OCE的一个法向量．
设二面角B－OE－C的大小为θ， 由图易得θ为锐角， 由S四边形OABC＝3S△POB，得PO＝∴＝2
2
6
OA， 3
ba6. 3
→|CF·m|ab5
故cos θ＝＝2＝， 222→5a＋a·a＋b|CF||m|∴二面角B－OE－C的余弦值为5
. 5
3．(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)如图，已知△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，且DE∥BC，BC⊥CD，点G为△ABC的重心，N 4