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第二节 回转薄壳应力分析
概念
壳体：以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件。 壳体中面：与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。
薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。 薄壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。 厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do /Di≥1.2 。 3.2.1 薄壳圆筒的应力 1． 基本假设：
a.壳体材料连续、均匀、各向同性； b.受载后的变形是弹性小变形； c.壳壁各层纤维在变形后互不挤压。
典型的薄壁圆筒如图2-1所示。 A Bt DppB图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力
A 47
2．B点受力分析：
内压P（ B点）：轴向：经向应力或轴向应力σφ
圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
三向应力状态→（σθ 、σφ >>σr）→二向应力状态
因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ(见图2-1) 3． 应力求解
y ?? ?? Di p ?? (a) p ? x ?? 截面法
(b) 图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
应力求解 （静定，图2-2）
轴向平衡 ?4D2p??Dt?? 得 ????pD4tpD 2t圆周平衡 2?2pRisin?d??2t?? 得 ???0解得 ???2??3.2.2 回转薄壳的无力矩理论
K1O'R1K1K2xrR1K2θA'AxyR2?zR2?zrOBξ平行圆经线a.b.
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一、回转薄壳的几何要素：
回转薄壳：中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。 母 线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线,如OA 极 点：中面与回转轴的交点。 经线平面：通过回转轴的平面。
经 线：经线平面与中面的交线,即OA＇
平 行 圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。
中面法线：过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。 第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。
第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径(K1B )等于考
察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B）
平行圆半径r：平行圆半径。
K1O'R1K1K2xrR1R2K2θA'AxyR2?z?zrOBξ平行圆经线a.图2-3 回转薄壳的几何要素
b. 同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。
曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r与R1、R2的关系： r=R2sin 二、无力矩理论与有力矩理论
平行圆?????????????N? 经线??a.b.c.图2-4 壳中的内力分量
49 内力：①薄膜内力：Nφ、Nθ、Nφθ、Nθφ——无力矩理论或薄膜理论（静定）
②弯曲内力：有力矩理论或弯曲理论（静不定）
A、横向剪力Qφ、Qθ B、弯矩转矩：Mφ、Mθ、
Mφθ、Mθφ、
即 无力矩理论: 只考虑薄膜内力, 忽略弯曲内力的壳体理论。
有力矩理论: 同时考虑薄膜内力和弯曲内力的壳体理论。
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。
3.2.3 无力矩理论的基本方程 一、壳体微元及其内力分量 微元体：a b c d
经线ab弧长：dl1?R1d? 截线bd长：dl2?rd?
微元体abdc的面积： dA?R1rd?d? 压力载荷： p?p(?)
微元截面上内力：N????t) N?(???t)
o'pmK1d?R2K2aR1??bm'K1o'R1K2R2d?O1??????adc??c??d???????????rd?bo??b.oa.o'K1d???d???R1F1??????d???F1d???a.cto'O1d???d?d???F2??d???c.doc.b.dd???o d.??F2a.bd???o'K12N?在法线d?上的分量?O1?2F2a(c)roe.b(d) 50