发布时间 : 星期一 文章2010高考二轮复习数学教案(10)三角恒等变换更新完毕开始阅读05fe13020740be1e650e9afa
三角恒等变换
【专题要点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公
式，半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）；三角公式的灵活运用，包括正用、逆用、变形使用等，运用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象解题.
【考纲要求】
1．和与差的三角函数公式
（1）向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
（2）用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
（3）用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
（4）体会化归思想的应用，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明.
（5）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2．简单的三角恒等变换
运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
【知识纵横】
11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、
?2±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？
cos(???)?cos?cos??sin?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin ? sin(???)?sin?cos??cos?sin?sin(???)?sin?cos??cos?sin? tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan?tan(???)? sin2??2sin?cos?2 2cos2??cos??sin?tan2??2tan?1?tan2?2cos??1?1?2sin? 22 ? 【教法指引】
高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：
（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；
（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；
（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
复习时，教师要教给学生注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率.
【典例精析】
例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值. 分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. 解：
??? ?
cos75?cos?45?30?????cos45?cos30?sin45sin30????2222??323??222??12??6?46?422 cos15??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??12 22点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：
cos15??co0?s6???，要学会灵活运用. 4?5?? 例2、已知sin??45，???5?求cos?????的值.,??,cos???,?是第三象限角，
13?2?2 43?4????解：因为???,??，sin??由此得cos???1?sin2???1?????55?5??2?52 12?5?,?是第三象限角，又因为cos???所以sin???1?cos???1??????1313?13?2 所以cos(???)?cos?cos??sin?sin??????3??5?4?12?33????????????5??13?5?13?65 点评：注意角?、?的象限，也就是符号问题. 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin72cos42?cos72sin42；（2）、cos20cos70?sin20sin70；
1?tan151?tan15?????????? （3）、．
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
?? （1）、sin72cos42?cos72sin42?sin?72?42??????sin30??12；
（2）、cos20?cos70??sin20?sin70??cos?20??70???cos90??0；
（3）、
1?tan151?tan15???tan45?tan15????1?tan45tan156sinx?tan?45?15????tan60??3．
例3、化简2cosx? 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
2cosx??1?3???6sinx?22?cosx?sinx??22?sin30cosx?cos30sinx??22sin?30?x??2?2??思考：22是怎么得到的？22?12?2???6?22，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和
32的.
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 例4、（2007浙江理12）．已知sin??cos??解：将sin??cos??215，且
?2≤?≤3?4os2，则c ?的值是 ．
15两边平方得sin?cos???49251225，
75所以(sin??cos?)?1?2sin?cos??又
?2≤?≤3?42，则sin??cos???75，
，所以cos??0,sin??0，所以sin??cos??2，
故cos2??cos??sin??(cos??sin?)(cos??sin?)??725．
例5、（2008年广东卷理12）.已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是 ． 解：f(x)?sinx?T?2?2??．
2sxin1?cosx21cxo?s?22xsi2时可得函数的最小正周期,n此
例6.（2008年江苏卷15）．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角?,?，它们的终边分别与单位圆相
225,交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为． 105y A B O x