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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（文史类） 2015．4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
（1）已知全集U?{a,b,c,d}，集合A?{a,b},B?{b,c}，则eU(AA．{b} B．{d} （2）已知命题p:?x?R，sinx?1，则
A．?p:?x?R，sinx?1 B．?p:?x?R, sinx?1 C．?p:?x0?R, sinx0?1 D．?p: ?x0?R，sinx0?1
222（3）若抛物线y?2px(p?0)的焦点与双曲线x?y?2的右焦点重合，则p的值为
B)等于
C．{a,c,d} D．{a,b,c}
A．2 B．2 C．4 D．22 开始 （4）如图所示的程序框图表示的算法功能是
A．计算S?1?2?3?4?5?6的值 B．计算S?1?2?3?4?5的值 C．计算S?1?2?3?4的值 D．计算S?1?3?5?7的值
S?1,t?2 t?t?1 S?S?t 1（5）已知x1?log12，x2?2，x3满足()x3?log3x3，则
33?12S?100?否 输出S 是 A．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3 D．x3?x1?x2
结束 第（4）题图
ππ（6）函数f(x)?2sin(x?)cos(x?)图象的一条对称轴方程是
66A．x?ππ5π2π B. x? C. x? D. x?
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?2x?y?0,?（7）已知实数x，y满足?2x?y?0,其中t?0．若z?3x?y的最大值为5，则z的最小值为
?0?y?t,?A．
5 B．1 C．0 D．?1 2（8）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD 上的动点（不
含端点），过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，连结GH．设
CM?x(0?x?3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C?GHM的体积y与变量x变化关系的
是
yyO3xO3xA
yB
yO3xO3x
C D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）i为虚数单位，计算
1?i= ． 1?i b满足a?b?1，（10）已知平面向量a，a与b的夹角为60?，
则a?(a?b)? ．
（11）圆C:(x?2)2?(y?2)2?8与y轴相交于A,B两点，则 弦AB所对的圆心角的大小为 ．
（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．
1 正视图 1 侧视图 俯视图 第（12）题图
（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超
过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：
（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）.
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已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为 元． ．．．
（14）记x2?x1为区间[x1,x2]的长度．已知函数y?2，x???2,a?(a?0)，其值域为?m,n?，则区间
x?m,n?的长度的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）
在?ABC中，A?π6，cosB?，BC?6． 33（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求?ABC的面积．
（16）（本小题满分13分）
某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）： （Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）；
（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校
随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．
（17）（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC? 甲校 乙校 3 2 9 0 1 5 6 8 6 * 2 1 8 0 * 2 2 * 7 3 6 6 5 8 5 A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．
C1
A1
B1
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在D
BC1D内的平面区域（包括边界）
C
A
D B
是否存在点E，使CE?DM，并说明理由．
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（18）（本小题满分13分）
设数列?an?的前n项和为Sn，且a1?4，an?1?Sn，n?N.
?（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅲ）已知等差数列?bn?中，有b2?a2， b3?a3，求数列?an?bn?的前n项和Tn．
（19）（本小题满分14分）
x2y26已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F．过焦点1(?2,0),F2(2,0)，离心率为
ab3F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交
椭圆于M,N两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程． （20）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?(x?)e，a?R．
（Ⅰ）当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a??1时，求证：f(x)在(0,??)上为增函数；
（Ⅲ）若f(x)在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．
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