发布时间 : 星期一 文章高一一数学校本课程《趣味数学》 - 图文更新完毕开始阅读0549a6e819e8b8f67c1cb9d7
第8课时 不等式性质应用趣题―
“两边夹不等式”的推广及趣例
教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用
教学过程：
一、情境引入
大家都熟知等比定理：若等式，如且bcabab?cdab?cd，则
ab?a?cb?d?cd。若将条件中的等式改为不
，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知a,b,c,d都是正数，
ab?a?cb?d?cd?ad，则
cd(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，
稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式
?a?cb?d?为两边夹不等式。 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个
不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的．
二、“两边夹不等式”理解推广 1、两边夹不等式的两种理解
解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶液A的浓度为液B的浓度
cdab，溶
，现将两种溶液混合成溶液C，此时溶液浓度为
ab?a?cb?d?cda?cb?d，由日常生
活经验知道有。
（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设
?OA?(b,a)?OB?(d,c)，
则直线OA、(如图1)，则
OB斜率分别是
ab，
cd??OA?OB?(b?d,a?c)，它表示图中的
?OC,显然直线OC的斜率介于OA、OB
ab?a?cb?d?cd的斜率之间，即。
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???进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如OD?OA?2OB?(b?2d,a?2c)得
到不等式
ab?abababa?2cb?2d???a?cb?da?cb?d???cd，仿此还可到几个不等式链：
??cda?3cb?3d3a?c3b?d??????????a?ncb?ndna?cnb?dN?（1）（2）（3）
a?2cb?2d2a?c2b?d???????????????cdcd
ma?ncmb?nd（其中m,n?）
2．两边夹不等式的一个简单应用
练习1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知a,b,m都是正数，且a分析：??b，求证：，?abab?a?mb?mmm。
ab?a?mb?ma?b?1?，由．
3．两个有意义的推广
推论1(等比定理的推广)：已知ain,bi?R(i?1,2,3,?，n)?，若
a1b1?a2b2???anbn，
则
a1b1??i?1nai?bianbn。
?i?1利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。
由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将分母各乘以非零实数?1，?2又有什么结论呢?
推论2(一般性推广)：若正数a,b,c,d及非零实数?1，?2满足
ab?ab与
cd的分子
ab?cd，则
?1a??2c?1b??2d?cd
?1a?1bcd证明：?ab?,??2c?2d，
ab?cdab
?1a??2c?1b??2dcd?由两边夹不等式立即得
??
练习2、无限夹数游戏
(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?
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如与
32538371121，与
3122512125，
25与
12等。
依据两边夹不等式可以得到 介于与
3之间， 之间， 之间。
介于与
31介于
25与
三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。 四、作业：探求“黄金分割数”
在0、l之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为a1?12，此时得到两个区间A1=（0，
2312），B1=(
12,1)在区间B1
内利用两边夹不等式得到第二个数a2=A2=(
12，23；此时a2又将区间B1分成两个区间
3),B2=(
23,1)在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数a=，依此类推，
55?12可以得到数列{an}，数列{an}的极限称为黄金分割数，求此极限。(
n???liman?)
第9课时 不等式性质应用趣题―
均值不等式的应用
教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用
教学过程： 一、情境引入；
日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中
起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。
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在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法
设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一
经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价
（票价=最低票价+ +平均利润） 例1、包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶
“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示）， 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）
=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)
≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体. 例2、“易拉罐”问题
圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？
分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.
第10课时 立体几何趣题—— 正多面体拼接构成新多面体面数问题
教学要求： 训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣
教学过程： 一、问题提出
在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个
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