发布时间 : 星期四 文章《数学分析》（华师大二版）课本上的习题21更新完毕开始阅读040e1a4df7ec4afe04a1dfc9
第二十一章 重积分（续）与含参量非正常积分 P.328 二重积分中一些问题的讨论
1. 设E?{Pn}是R2中收敛点列.证明：E是零面积集合.
2. 设R上有界点集A、B都是零面积集合.证明：A?B、A?B也是零面积集合. 3. 证明：若有界点集E?R2是零面积集合，则函数f(x,y)?1在E上可积，且
2?Ef?0.
4. 设点集S1,S2都是可求面积的，证明：S1?S2、S1?S2和S1S2也都是可求面积的.
25. 设E,D为R上可求面积区域，且E?D.证明：若函数f在D上可积，则f在E上也可
积，且当f为D上非负函数时有6. 设
?Ef??f.
Dq?1x??,若x,y都是有理数，且f(x,y)??p p，?0,其他情形?为定义在D?[0,1]?[0,1]上函数.证明： （1）f在D上可积；
（2）若x取(0,1)中任一有理数p，则f(p,y)在[0,1]上不可积.
7. 设变换T如定理21.4所设，???G?为uv平面上可求面积区域，Q(u0,v0)???,
??T(??).证明：当d(??)?0(??退缩到Q)时，有lim
P.334 n重积分 1. 计算五重积分
???J(u0,v0). ????????dxdydzdudv,
V 其中V:x?y?z?u?v?r. 2. 计算四重积分
222222????V1?x2?y2?z2?u2dxdydz, 22221?x?y?z?u222 其中V:x?y?z?u?1.
23. 求n维角锥xi?0,xx1x2????n?1,ai?0(i?1,2,?,n)的体积. a1a2an2224. ?:x1?x2???xn?R2上的n(?2)重积分
222?f(x?x???x)dx1dx2?dxn 12n???化为单重积分，其中f(u)为连续函数.
5.（1）是仿照本章§3零面积集合概念定义R中集合E的零容度概念. （2）设V为n维长方体，f为V上有界函数，E?V为零容度集合.证明：若f在
nV\\E上连续，则f在V上可积.
（3）设Vn为维长方体，f为V上可积函数.证明：f的图形
G(f)?{(x,y)y?f(x),x?V?Rn,y?R}
是Rn?1中的零容度集合.
P.350 含参量非正常积分 1. 证明下列各题 ： （1）
???1y2?x2 dx在R上一致收敛；22(x?y) （2） （3）
????0??e?xydy在[a,b](a?0)上一致收敛；
20xe?xydy,(i)在[a,b](a?0)上一致收敛;
(ii)在[0,b]上不一致收敛；
1ln(xy)dy在[,b](b?1)上一致收敛； ?0b1dx （5）?y在(??,b](b?1)上一致收敛.
0x （4）
12. 丛等式
?eab?xy?ax??ee?ax?e?bx?e?bxdy?dx(b?a?0). 出发，计算积分?0xx3. 应用定理21.8计算下列积分(其中??0,??0):
?? (1)
?0e??x?e??xdx; (2)
x22???0e??x?e??xsinxdx. x4. 计算下列?函数的值：
5511?(),?(?),?(?n),?(?n). 22225. 运用欧拉积分计算下列积分(其中n为自然数)： （1） （3） （5）
???10x?x2dx; （2）?x2ne?xdx;
0??2?20?sinxcosxdx; （4） sin2n?1xdx.
??264?20sin2nxdx;
?206. 回答下列问题：
（1） 对极限lim?x?0?02xye?xydy能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？
2（2） 对
?10dy?(2y?2xy3)e?xydx能否运用积分顺序交换来求解？
0??（3） 对F(x)????0xe3?x2ydy能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？
7. 设f为[a,b]?[c,??)上连续非负函数， I(x)????cf(x,y)dy
在[a,b]上连续，证明I(x)在[a,b]上一致收敛.
8. 证明：若f为[a,b]?[c,??)上连续函数，含参量非正常积分 I(x)????cf(x,y)dy
在[a,b)上收敛，在x?b发散，则I(x)在[a,b)上不一致收敛. 9. 证明定理21.9.
10. f为I(x）?[a,??)?[b,??)上非负连续函数，分别为[a,??)和[b,??)上连续函数.证明：若
???bf(x,y)dy和J(y)????af(x,y)dx
???adx???bf(x,y)dy 与
???b??dy???a??f(x,y)dx f(x,y)dx.
????00中有一个存在，则 11. 设f(x,y)?xp?1???adx???bf(x,y)dy??dy?b????00ayp?q?1e?(1?x)y,证明?dy?f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx.
12. 利用余元公式计算下列积分： （1）
???01dxx(n为自然数). （2）dx;?20nn(1?x)1?x4（提示：先进行适当变换以便把它们写成欧拉积分形式）.
P.352 总练习题 1. 设
1?1,??,当x,y都是有理数时 f(x,y)??qxqy?0,其他情形?为定义在D?[0,1]?[0,1]上的函数，其中qx和qy分别表示有理数x和y的既约分数的分母.证明：f在D上可积，但两个不同顺序的累次积分都不存在. 2. 设
qx?qy时，?1,当x,y都是有理数，且 f(x,y)??0，其他情形?为定义在D?[0,1]?[0,1]上的函数（qx，qy意义同上题）.证明：f在D上不可积，但两个不同顺序的累次积分都存在.
3. 设
?1,当x为无理数时， f(x,y)??2?3y,当x为有理数时为定义在D?[0,1]?[0,1]上的函数.证明： （1）f在D上不可积； （2）
?dx?0110f(x,y)dy存在；
（3）f在D上先x后y的累次积分不存在.
??24. 应用积分
?0e?atdt??2a(a?o)，证明：
??（1）
???0te2?at2dt??4a32; （2）?te02n?at2(2n?1)!!??{n?2)dt?a n?1215. 应用积分
???0??dx?dx?,求. 2222n?1?02ax?a（x?a）6. 求函数F(y)????0sin[(1?y2)x]dx的不连续点，并作出函数F(y)的图像.
x7. 设f是[0,??)?[0,??)上的连续函数.证明：若
x??????0f(x,y)dy在x?0上一致收敛于
F(y)，且limf(x,y)??(y)，对任何y?[a,b]?[0,??)一致地成立，则
x???limF(x)???(y)dy.
0??8. 证明：
lnx?2dx??; （1）?01?x61（2）
?u0?ln(1?t)u2dt???,0?u?1. tn?1n