发布时间 : 星期二 文章高中数学必修一集合与函数更新完毕开始阅读015154916c85ec3a87c2c5f8
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增减性相反. 4.如果f(x)是偶函数,则f(x)?f(|x|),反之亦成立。若奇函数在x?0时有意义,则f(0)?0。
7. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数:f(?x)?f(x)
设(a,b)为偶函数上一点,则(?a,b)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称,例如:y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数. ②满足f(?x)?f(x),或f(?x)?f(x)?0,若f(x)?0时,⑵奇函数:f(?x)??f(x)
设(a,b)为奇函数上一点,则(?a,?b)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:y?x3在[1,?1)上不是奇函数. ②满足f(?x)??f(x),或f(?x)?f(x)?0,若f(x)?0时,
y轴对称8. 对称变换:①y = f(x)?? ???y?f(?x)f(x)?1. f(?x)f(x)??1. f(?x)x轴对称②y =f(x)?? ???y??f(x)③y =f(x)?原点对称 ????y??f(?x)9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
(x1?x2)(x1?x2) 222f(x1)?f(x2)?x21?b?x2?b?22 xx?b2?x1?b2在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数f(x)= 1+
x的定义域为A,函数f[f(x)]的定义域是B,则集合A与1?xB?A集合B之间的关系是 .
解:f(x)的值域是f(f(x))的定义域B,f(x)的值域?R,故B?R,而A??x|x?1?,故B?A.
11. 常用变换:
①f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?f(x). f(y)证:f(x?y)?xyf(y)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y) f(x)②f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y) 证:f(x)?f(?y)?f()?f(y) 12. ⑴熟悉常用函数图象:
?1?例:y?2→|x|关于y轴对称. y????2?|x|▲▲xyxy|x?2|?1??1?→y???→y????2??2?▲|x||x?2|
yyy(0,1)x(-2,1)xx
y?|2x?2x?1|→|y|关于x轴对称.
2
▲ y
⑵熟悉分式图象:
2x?17 ?定义域{x|x?3,x?R},?2?x?3x?3值域{y|y?2,y?R}→值域?x前的系数之比.
x例:y?▲y(三)指数函数与对数函数
指数函数 图 象 2x3y?ax(a?0且a?1)的图象和性质
0 logbN换底公式:logaN?logba推论:logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an(以上M?0,N?0,a ?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1) yy=logaxa>1图 象 Oxx=1a<1 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0),即当x=1时,y=0 性 质 (4)x?(0,1)时 y?0 x?(0,1)时 y?0 x?(1,??)时 y>0 (5)在(0,+∞)上是增函数 x?(1,??)时y?0 在(0,+∞)上是减函数 注⑴:当a,b?0时,log(a?b)?log(?a)?log(?b). ⑵:当M?0时,取“+”,当n是偶数时且M?0时,Mn?0,而M?0,故取“—”. 2例如:logax?2logax?(2logax中x>0而logax2中x∈R). ⑵y?ax(a?0,a?1)与y?logax互为反函数. 当a?1时,y?logax的a值越大,越靠近x轴;当0?a?1时,则相反. (四)方法总结 ⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算: loga(M?N)?logaM?logaN(1)logaM?logaM?logaNN1logaMn logaMn?nloga??M?12)loganM?alogaN?NlogbNlogba换底公式:logaN?推论:logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an(以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1) 注⑴:当a,b?0时,log(a?b)?log(?a)?log(?b). ⑵:当M?0时,取“+”,当n是偶数时且M?0时,Mn?0,而M?0,故取“—”. 例如:logax2?2logax?(2logax中x>0而logax2中x∈R). ⑵y?ax(a?0,a?1)与y?logax互为反函数. 当a?1时,y?logax的a值越大,越靠近x轴;当0?a?1时,则相反. ⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ⑶.反函数的求法:先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等. ⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法. ⑹.单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较. ⑺.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. ⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.