发布时间 : 星期六 文章数值计算方法复习题7更新完毕开始阅读010d7abb9e314332396893cf
习题七
1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。 （1）
（3）
（1）
（3） 根。
，
，
； （2） ； （4）
，
，
； （2）
； （4）
；
为
2. 方程
分法求此根，使其误差不超过 分法求此根。6
在区间（3，4）中有一实根，若用二，问应将区间对分几次？并请用二
3. 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。 （1）
； （2）
（1）能； （2）不能，
4. 求方程
有效数字的近似根。
的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判
断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位
（1） （4）
（2） （3）
（1.4,1.5）； （1）收敛； （2）收敛； （3）发
散；（4）发散； 1.465573
1
5. 考察方程 许误差
有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允
－1.989761；0.3758122
6. 用牛顿法求出的方程 的重数。 表2-6
根的迭代结果见表2-6，试估计所求根
k 0 1 2 3 4 5 ；
Xk 0.75 0.752701 0.754795 0.756368 0.757552 0.7584441 xk－xk－1 0.00270 0.00208 0.00157 0.00118 0.000889 ；
7. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.
解 使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因
f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。
其误差
8.求方程
在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价
2
形式，并建立相应迭代公式. (1) (2)
，迭代公式,迭代公式
.
.
(3)
，
迭代公式
.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.
解：（1）取区间，在故迭代收敛。 （2）
中有
中
且，在且
，则L<1，满足收敛定理条件，
，在中
，故迭代收敛。
，且，在
（3），在附近，故迭代法发散。
在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则
9.设方程 (1) 证明对
的迭代法
,均有
,其中
为方程的根.
,并列出各次迭
(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.
3
解：（1）迭代函数
，
，则有各次迭代值
，对有
（2）取
取
，其误差不超过
（3）
故此迭代为线性收敛。
10． 给定函数，设对一切x,存在，而且
均收敛于方程
.证明对的根.
的任意常数,迭代法
解：由于程有根
，
）。迭代函数
为单调增函数，故方程
，
，由递推有
，即
的根是唯一的（假定方。令
，则
11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到
解:在(2)中
令
,得
,与第2题中(2)的结果一致,可取
对(3)有
,
,令,,则有
,则满足精度要求.
原迭代不收敛.现令
令
12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
4
(1)
(2)
解：（1）
Newton迭代法
取
，则
在=2附近的根.
在=1附近的根.
，取
（2）令
，则
，取
13.应用Newton法于方程收敛性.
解：方程
的根为
,求立方根的迭代公式，并讨论其
，用Newton迭代法
此公式迭代函数，则
，故迭代法2阶收敛。还可证明迭
代法整体收敛性。设
，对
一般的，当
时有
这是因为
，即
，表明序列
单调递减。故对
当
时成立。从而，迭代序列收敛于
5