发布时间 : 星期六 文章高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程讲义含解析新人教A版选修更新完毕开始阅读005b069df02d2af90242a8956bec0975f565a468
2．圆的参数方程
圆的参数方程
(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原?x＝rcos ωt，?
??y＝rsin ωtxryr点O，半径为r的圆的参数方程为?质点做匀速圆周运动的时刻．
(t为参数)．其中参数t的物理意义是：
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为
??x＝rcos θ，?
?y＝rsin θ?
(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点
O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
??x＝x0＋Rcos θ
(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为?
??y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜
2π)．
求圆的参数方程 [例1] 根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为r的圆的参数方程． (1)在y轴左侧的半圆(不包括y轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧．
[解] (1)由题意，圆心在原点，半径为r??x＝rcos θ，
的圆的参数方程为?
?y＝rsin θ?
(θ∈
π3π
[0,2π))，在y轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x＝rcos θ<0，所以有<θ<，故22
??x＝rcos θ，
其参数方程为?
?y＝rsin θ?
?θ∈?π，3π??.
??2?2?????
??x＝rcos θ>0，
(2)由题意，得?
?y＝rsin θ<0，?
3π
解得<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为
2
1
??x＝rcos θ，?
?y＝rsin θ?
?θ∈?3π，2π??.
??2??????
(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误．
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为x＋y＝2x，写出它的参数方程． 解：x＋y＝2x的标准方程为(x－1)＋y＝1， 设x－1＝cos θ，y＝sin θ，
??x＝1＋cos θ，
则参数方程为?
?y＝sin θ?
2
2
2
2
2
2
(0≤θ＜2π)．
??x＝cos θ，
2．已知点P(2,0)，点Q是圆?
?y＝sin θ?
上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说
明轨迹是什么曲线．
2＋cos θx＝，??2
解：设中点M(x，y)．则?0＋sin θ
y＝，??2
1
x＝1＋cos θ，??2即?1
y＝??2sin θ，
(θ为参
1
数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，为半径的圆.
2
22圆的参数方程的应用 [例2] 若x，y满足(x－1)＋(y＋2)＝4，求2x＋y的最值． [思路点拨] (x－1)＋(y＋2)＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．
[解] 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ， 则有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，
故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤2x＋y≤25，
即2x＋y的最大值为25，最小值为－25.
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
2
2
2
??x＝cos θ，
3．已知圆C?
?y＝－1＋sin θ?
与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
π??即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin?θ＋?.
4??π??∵－1≤sin?θ＋?≤1，∴1－2≤a≤1＋2.
4??故实数a的取值范围为[1－2，1＋2]．
一、选择题
??x＝2＋2cos θ，
1．已知圆的参数方程为?
??y＝2sin θ
(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) C．(－2,0) 解析：选D 将?
?x＝2＋2cos θ，?
??y＝2sin θ
B．(0，－2) D．(2,0)
化为(x－2)＋y＝4，其圆心坐标为(2,0)．
22
2．已知圆的参数方程为?的距离为( )
A．1 B.2 C．2
?x＝－1＋2cos θ，?y＝2sin θ
(θ为参数)，则圆心到直线y＝x＋3
D．22
解析：选B 圆的参数方程?
?x＝－1＋2cos θ，?y＝2sin θ
(θ为参数)化成普通方程为(x＋
1)＋y＝2，圆心(－1,0)到直线y＝x＋3的距离d＝
22
|－1＋3|
＝2，故选B. 2
??x＝a＋rcos θ，
3．若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则圆?
?y＝b＋rsin θ?
(θ为参数)的
圆心在( )
A．第四象限 C．第二象限
B．第三象限 D．第一象限
3
解析：选B 根据题意，若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则有a<0，b<0.圆的参数方程为?
??x＝a＋rcos θ，??y＝b＋rsin θ
(θ为参数)，圆心坐标为(a，b)，又由a<0，b<0，得该圆
的圆心在第三象限，故选B.
??x＝2＋cos α，4．P(x，y)是曲线?
?y＝sin α?
(α为参数)上任意一点，则(x－5)＋(y＋4)
22
的最大值为( )
A．36 C．26
B．6 D．25
解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)＋(sin α＋4)
＝25＋sinα＋cosα－6cos α＋8sin α
3??＝26＋10sin(α－φ)?其中tan φ＝?，所以其最大值为36.
4??二、填空题
5．x＝1与圆x＋y＝4的交点坐标是________． 解析：圆x＋y＝4的参数方程为?
2
22
2
2
22
2
?x＝2cos θ，?
??y＝2sin θ
(θ为参数)
13
令2cos θ＝1，得cos θ＝，∴sin θ＝±.
22∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)，(1，－3)
??x＝cos θ，
6．曲线?
?y＝1＋sin θ?
(θ为参数)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝
________.
解析：根据题意，曲线?
?x＝cos θ，?
??y＝1＋sin θ
(θ为参数)的普通方程为x＋(y－1)＝1，
22
表示圆心坐标为(0,1)，半径r＝1的圆，
而直线的方程为x＋y－1＝0，易知圆心在直线上， 则AB为圆的直径，故|AB|＝2r＝2. 答案：2
7．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已π??x＝2＋2cos θ，?知直线l的极坐标方程为ρsin ?θ＋?＝1，圆C的参数方程为?6???y＝－3＋2sin θ
(θ
4