发布时间 : 星期三 文章2017年上海市中考数学试卷含答案解析(Word版)更新完毕开始阅读0005ee41d1d233d4b14e852458fb770bf68a3b0b
∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180×
=45°，
∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；
（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1， ∴x=﹣
=1，即
=1，解得b=2．
∴y=﹣x2+2x+c．
将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2． 配方得：y=﹣（x﹣1）2+3． ∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．
∵M（1，m），C（1，2），
∴MC=m﹣2． ∴cot∠AMB=
=m﹣2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上， ∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3． ∵OP=OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上． 又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称． ∴点Q的纵坐标为﹣．
将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=∴点Q的坐标为（
，﹣）或（
，﹣）．
或x=
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．
25．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=
∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题； （3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图1中，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC， ∴∠C=∠B， ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB， ∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，
∵BD⊥AC，OA=OC， ∴AD=DC， ∴BA=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，